Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Связь между решениями однородной и неоднородной систем

Пусть дана неоднородная система Ах = 6. Однородную систему линейных уравнений Ах = 0, получающуюся из неоднородной системы заменой в ней свободных членов нулями, называют приведенной однородной системой для системы Ах = Ь.

Между решениями неоднородной и приведенной однородной систем существует тесная связь, которая описывается следующими утверждениями.

Теорема 4-17. Сумма любого решения х неоднородной системы Ах = b и любого решения Х2 приведенной однородной системы Ах = 0 является решением неоднородной системы Ах = Ь.

> В силу равенств

заключаем, что

а это означает, что столбец х + 2 является решением неоднородной системы Ах = Ь. ?

Теорема J^.18. Разность Х — Х2 любых двух решений Х и х2 неоднородной системы Ах = b является решением ее приведенной системы Ах = 0.

О Из равенств получаем

что и означает, что столбец х — тд является решением однородной системы Ах = 0. ?

Т ео рема 4-19. Общее решение неоднородной системы Ах = Ь можно представить формулой

где тоднобщее решение приведенной однородной системы А х = 0, а То — какое-либо частное решение неоднородной системы Ах = Ь.

> В силу теоремы 4.17 любой вектор х, имеющий представление (4.35), является решением неоднородной системы Ах = Ь. Пусть х — произвольное решение системы Ах = Ь. Тогда по теореме 4.18 вектор у = х — .то является решением однородной системы Ах = 0. Следовательно, х — у + то и потому т содержится в множестве решений, определяемых формулой (4.35). ?

Формула (4.35) позволяет находить общее решение неоднородной системы при известном ее частном решении, решая приведенную однородную систему.

Пример 4.17. Зная решение то = (2,0, —1,0)т системы

найти общее решение этой системы.

Решение. Поскольку известно частное решение системы, можно ограничиться определением общего решения приведенной однородной системы. Решая эту систему, получаем общее решение в виде

Теперь, используя формулу (4.35), можем записать общее решение неоднородной системы

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы