Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Определение и примеры линейных операторов

Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем Р. Говорят, что из пространства X в пространство Y действует оператор (р или, что то же самое, отображение <р, функция р>, если каждому вектору а из X по какому-либо правилу ставится в соответствие определенный вектор а' = (р(а) = <ра из Y. Вектор а' называют образом вектора а, вектор а — прообразом вектора а' при отображении ip.

Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X.

Наиболее простыми являются линейные операторы. Оператор действующий из X в Y, называют линейным, если он сумму любых векторов а и Ъ из X переводит в сумму их образов а' и У, а произведение любого вектора а из X на любое число а из Р — в произведение образа а' вектора а на то же число а, т.е. если

Непосредственно из определения линейного оператора вытекают следующие утверждения:

1) линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов oi, аг, ..., а*; из X в линейную комбинацию образов а^, а^, ..., а'к этих векторов с теми же коэффициентами, т.е.

  • 2) линейный оператор переводит нулевой вектор 0 из X в нулевой вектор 0' из Y;
  • 3) линейный оператор переводит вектор —а, противоположный вектору а, в вектор —а', противоположный вектору а' = <ра.

Первое утверждение несложно доказать методом математической индукции по количеству векторов к. Второе утверждение доказывается следующим образом:

Доказательство третьего утверждения аналогично:

Пусть из линейного пространства X в линейное пространство Y действует линейный оператор р. Множество рХ образов всех векторов из X при действии оператора р называют областью значений оператора р.

Область значений оператора р является подпространством в Y. Действительно, если у,у2 6 рХ, то у = рх, у2 = рх2, где Х,Х2 G X. Поэтому у + У2 = Р%1 + Ц>%2 = 4>{х + Х2) G рХ. Аналогично Ху = Хрх = ip(Xxi) G ipX. Следовательно, множество рХ замкнуто относительно операций линейного пространства Y.

Размерность области значений линейного оператора р называют рангом линейного оператора.

Множество Кег р всех векторов линейного пространства X, которые переводятся линейным оператором р в нулевой вектор линейного пространства Y, называют ядром линейного оператора ip. Как и область значений, ядро линейного оператора является линейным подпространством в X. Действительно, условие Х,Х2 ? G Кег р означает, что рх = рх2 = 0'. Поэтому

и

т.е. множество Кег р замкнуто относительно операций линейного пространства X.

Размерность ядра линейного оператора называют дефектом линейного оператора. Если ядро линейного оператора р состоит только из нулевого вектора (т.е. дефект оператора равен нулю), то р называют невырожденным линейным оператором. В противном случае его называют вырожденным линейным оператором.

Два линейных оператора р и ф, действующих из линейного пространства X в линейное пространство К, называют равными, если для любого a G X выполняется условие ра = фа.

Приведем несколько примеров линейных операторов.

1. Оператор ? : X —ьХ, переводящий любой вектор а линейного пространства X в тот же вектор a G X, является линейным оператором. Такой оператор называют тождественным.

  • 2. Оператор со : X ^ Y, переводящий любой вектор а линейного пространства X в пулевой вектор линейного пространства Y, является линейным оператором. Такой оператор называют нулевым.
  • 3. Умножение векторов линейного пространства X на одно и то же число а (растяжение линейного пространства X в а раз) является линейным оператором, действующим в X. Такой оператор называют оператором подобия.
  • 4. Оператор отраэюения р : X —> X, определяемый равенством рх = — х, является линейным оператором.
  • 5. Пусть X — трехмерное пространство векторов, выходящих из начала системы координат Oxyz, Y — одномерное пространство векторов на оси Оу. Ортогональное проектирование векторов на ось Оу определяет линейный оператор, действующий из X в У. Этот оператор можно рассматривать также как оператор, действующий в пространстве X.
  • 6. Пусть в трехмерном пространстве Х$ с базисом е = (ei,62,63) оператор р переводит вектор х = (яд,яд,яд)т в вектор рх = (яд + яд,яд + яд,.яд + яд)т. Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что выполняются условия р(х + у) = рх + ру и р(ах) = арх. Поэтому оператор р линейный.
  • 7. Пусть в линейном пространстве Мпп) квадратных матриц над полем Р оператор р действует по правилу

Этот оператор линейный, поскольку выполняются соотношения

8. В линейном пространстве С°° [а, Ь бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь] операция дифференцирования определяет линейный оператор, поскольку производная суммы равна сумме производных, а производная произведения функции на число равна произведению производной этой функции на то же число.

Теорема 5.1. Пусть линейный оператор р действует из линейного пространства X в линейное пространство Y и(е 1,62,..., еп) базис в X. Тогда оператор р однозначно определяется заданием образов ре, рв2, ? ? ?, реп векторов базиса (ei, ег,..., еп).

> Если известны образы реi, ре2, ..., реп векторов базиса (ei, 62, ... ,еп), то для любого вектора

мы однозначно определяем его образ при действии оператора

Следовательно, оператор однозначно определяется образами векторов заданного базиса. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы