Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Характеристический и минимальный многочлен

Пусть А — квадратная действительная или комплексная матрица n-го порядка. Матрицу

с переменной Л, принимающей любые числовые значения, называют характеристической матрицей матрицы А. Ее определитель

представляет собой многочлен от переменной Л степени п. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А.

То, что характеристический многочлен на самом деле является многочленом от переменной Л, непосредственно вытекает из определения определителя. Наивысшую степень, равную п, среди всех слагаемых определителя А — Е имеет произведение

Остальные слагаемые определителя не содержат по крайней мере двух элементов матрицы А — А Е с переменным Л и потому имеют степень не выше п — 2. Поэтому степень многочлена равна п. Отметим, что произведение (5.9) определяет не только степень характеристического многочлена, но и два его слагаемых со старшими степенями

Свободный член характеристического многочлена совпадает с его значением при Л = 0 и равен |А — А Е = |Л|, т.е. определителю матрицы А.

Итак характеристический многочлен матрицы А порядка п имеет вид (см. [7], с.83 и [17], с.55):

где Pk - сумма главных миноров А>го порядка матрицы А, в частности, Pi = ац +«22 + --+ftnn - сумма элементов главной диагонали матрицы А, называемая следом этой матрицы и обозначаемая через Sp А, рп — определитель |Л| матрицы А.

Корни характеристического многочлена ХЕ называют характеристическими корнями или характеристическими числами матрицы А. Кратность кг характеристического корня А* в характеристическом многочлене называют алгебраической кратностью этого корня. Множество всех характеристических корней матрицы, в котором каждый характеристический корень повторяется столько раз, какова его кратность, называют спектром матрицы А. Если все характеристические корни матрицы простые (т.е. имеют единичную кратность), то спектр матрицы называют простым.

В соответствии с формулами Виета коэффициенты характеристического многочлена связаны с характеристическими корнями следующим образом:

Из этих формул, в частности, вытекают часто применяемые соотношения

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевые характеристические корни тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е. когда матрица вырожденная.

Пример 5.5. Вычислить характеристический многочлен матрицы

Решение. В соответствии с определением характеристического многочлена получаем:

Если воспользоваться формулой (5.10), то сначала найдем

а затем запишем

О методах вычисления характеристического многочлена см. в приложении, помещенном в конце книги.

Теорема 5.7. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

> Если матрицы А и В подобные, то для некоторой невырожденной матрицы Q выполняется равенство В = Q~l AQ. Следовательно,

В произвольный многочлен

вместо переменной Л можно подставить квадратную матрицу А порядка п. В результате получим матрицу Р(А) = во Ап + а Ап~1--

Н----+ an_ 1 А + апЕ, которую называют значением многочлена Р(Л)

при Л = А. Если для данной матрицы А верно равенство Р{А) = О (значением многочлена Р(А) при Л = А является нулевая матрица), то А называют матричным, корнем многочлена Р(А), а сам многочлен Р(А) — многочленом, аннулируемым матрицей А.

Теорема 5.8. Всякая квадратная матрица является корнем некоторого ненулевого многочлена.

> Множество всех квадратных матриц порядка п с элементами из поля Р есть линейное пространство над Р размерности п2. В этом линейном пространстве любая система, в которой не менее п2 +1 элементов, является линейно зависимой. Следовательно, система Ап , Ап -1, ..., А, Е из п2 + 1 матриц линейно зависима, т.е. существует такой набор чисел ао, от, ..., ап2, одновременно не обращающихся в нуль, что выполняется равенство

Это равенство означает, что матрица А является корнем многочлена

Доказанная теорема на самом деле вытекает из следующего утверждения.

Теорема 5.9 (теорема ГамильтонаКэли).

Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Прежде чем доказывать эту теорему, введем понятие X-матрицы — матрицы, элементами которой являются многочлены от переменной А. Любую A-матрицу можно представить как многочлен переменной А, коэффициентами которого являются квадратные матрицы соответствующего порядка. Например,

> Пусть А — квадратная матрица n-го порядка. Рассмотрим присоединенную матрицу С к матрице А — Е. Её элементами являются алгебраические дополнения элементов определителя | АЕ |, представляющие собой многочлены от Л степени не выше п— 1. Как отмечено выше, матрицу С можно представить в виде

где Ci, С2, ..., Сп некоторые числовые матрицы. По основному свойству присоединенной матрицы (см. разд. З.С, следствие 3.2) имеем:

В этом равенстве заменим матрицу С суммой (5.11), а характеристический многочлен — суммой (5.10). Тогда получим равенство

Раскрывая скобки в обеих частях равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим систему из п + 1 равенства:

Умножим первое равенство системы на Ап, второе - на Лп_1 и т.д., п-е равенство — на А, (п + 1)-е равенство — на А° = Е:

При сложении этих равенств в левой части получим нулевую матрицу, а в правой части — выражение

Поэтому f{A) = 0. ?

5.6. Характеристический и минимальный многочлен

Многочлен 92(A) минимальной степени, имеющий старший коэффициент, равный единице, и аннулируемый матрицей А, называют минимальным многочленом этой матрицы.

Теорема 5.10. Любой многочлен, аннулируемый матрицей А, нацело делится на минимальный многочлен этой матрицы. В частности, характеристический многочлен матрицы делится на её минимальный многочлен.

О Разделим многочлен Р{Л) на минимальный многочлен 9?(Л) с остатком: Р{А) = 99(A) g(A) + г(А), где многочлен г(А) имеет степень меньше степени 92(A). Заменив переменную А матрицей А, получим:

Так как Р(А) = р(А) = 0, то и г (А) = 0. Но это равенство возможно только в том случае, когда многочлен г (А) нулевой. Иначе возникает противоречие с определением минимального многочлена. Равенство г = 0 означает, что многочлен Р(А) нацело делится на 92(A). ?

Следствие 5.1. Любой корень минимального многочлена матрицы является корнем ее характеристического многочлена.

О Как установлено при доказательстве теоремы, характеристический многочлен /(А) связан с минимальным многочленом 92(A) равенством /(А) = 99(A) q{). Из этого равенства вытекает утверждение следствия. ?

Отметим еще несколько полезных фактов (см. [7], с. 100).

Характеристический многочлен | АХЕ матрицы Л и ее минимальный многочлен 92(A) связаны соотношением

где Dn-1 — наибольший общий делитель всех миноров матрицы А — А Е, имеющих (п — 1)-й порядок.

Корнями минимального многочлена 92(A) являются все различные корни характеристического многочлена |А — А Е причем если

то

где 1 ^ пк ^ тк: к = 1,2

Формула (5.12) позволяет находить минимальный многочлен матрицы. О другом способе построения минимального многочлена матрицы сказано ниже (см. разд. 6.5).

Пример 5.6. Найти минимальный многочлен матрицы

Решение. В предыдущих примерах для матрицы А найден характеристический многочлен А — Е = — А3 + 2 Л2 + Л — 2. Общий наибольший делитель D2 всех миноров второго порядка матрицы

равен единице, так как ее миноры

взаимно простые. Поэтому

Пример 5.7. Найти характеристические и минимальные многочлены матриц

Р е ш е н и е. Для матрицы А непосредственным вычислением определителя находим характеристический многочлен

Выпишем все миноры второго порядка матрицы А — А Е:

Общий наибольший делитель D2 всех этих миноров есть Л — 4. Поэтому минимальный многочлен матрицы А имеет вид:

Заметим, что D2 можно найти иначе. Действительно, если в матрицу А — Е подставить Л = 4, то получим матрицу

ранга г — 1. Следовательно, все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю. Это означает, что все миноры второго порядка матрицы А — Л Е делятся на Л — 4, причем все эти миноры не могут делиться на большую степень двучлена Л — 4, так как, например, минор

делится лишь на первую степень этого двучлена. Следовательно, в ?>2 входит множитель Л —4 в первой степени. Другие множители из | А — Л ?^1 в ?>2 не входят, так как на них не делится, например, выписанный только что минор второго порядка. Поэтому Дг = А — 4.

Для матрицы А2 также непосредственным вычислением определителя находим характеристический многочлен

Далее замечаем, что в матрице

миноры второго порядка

взаимно простые. Поэтому D2 = 1 и

Рассмотренный пример показывает, что разные матрицы могут иметь одинаковые характеристические, но разные минимальные многочлены.

Учитывая, что матрицы данного линейного оператора в разных базисах подобны и имеют один и тот же характеристический многочлен, логично этот многочлен назвать характеристическим многочленом линейного оператора, а его корни — характеристическими корнями линейного оператора.

Заметим также, что транспонированная матрица АТ имеет одинаковые с матрицей А характеристические многочлены и характеристические числа.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы