Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Представление функций от матриц рядами

Пусть дана квадратная матрица А порядка п с минимальным многочленом

ОС

Говорят, что ряд Е ир(А) сходится на спектре матрицы А к функции

р=0

/(А), если функции /(А), щ(), ..., ир(А), ... определены на спектре матрицы А и выполняются соотношения

ОО

Для того чтобы ряд ир(А) функций от матрицы А сходился к р

матрице f{A), т.е. чтобы

ОС

необходимо и достаточно, чтобы ряд ^ ир(А) сходился на спектре

р

матрицы А к функции /(А). Отсюда, вытекают, например, следующие разложения:

Некоторые приложения функций от матриц

Приведем три случая использования функций от матриц в решении конкретных задач.

  • 1. Для вычисления т-й степени матрицы А при любом действительном т следует рассмотреть функцию /(А) = Хт и вычислить ее значение при Л = А (см. разд. 7.3).
  • 2. Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

в матричной форме записывается в виде

где х = (жь Х2, хп)Т, А = (dij). Ее решение, удовлетворяющее начальным условиям

находится по формуле

Если матрицу’ eAt представить по формуле (7.8) в виде спектрального разложения

то решение (7.16) системы (7.13), удовлетворяющее начальным условиям (7.15), примет вид:

Заметим, что если х0 = (ci,c2, ...,сп)т, где с, с2, ..., сп произвольные постоянные, то формулы (7.16), (7.18) дают общее решение системы (7.13).

Пример 7.4. Найти решение системы

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. В матричной форме данная система записывается в

виде

где

а начальные условия — в виде .т|(=0 = xq = (0,1,1)т.

Для того чтобы воспользоваться формулой (7.16), нужно знать матрицу eAt. Вычислим ее. В примере 5.7 был найден минимальный многочлен 2 (Л — 2) матрицы А. За определяющий многочлен 'ф(Х) интерполяционного многочлена Р(А) примем гр() = <ДА) = (А — 4)2 (А — 2). Тогда по формулам (7.3) находим:

а по формуле (7.5) для функции /(А) = еЛ< имеем: так как в соответствии с (7.4)

Полагая eAt = Р(А), получаем:

Теперь по формуле (7.16) находим:

Если воспользоваться формулой (7.18), то сначала следует найти компоненты матрицы А. Для этого по формуле (7.8) для любой функции /(Л), определенной на спектре матрицы А получаем:

Полагая в этом разложении поочередно /(Л) = 1, /(А) = Л — 4, /(А) = (Л — 4)2, приходим к системе

из которой находим:

Теперь по формуле (7.18) имеем:

3. Для системы неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где

решение, удовлетворяющее начальным условиям находится по любой из следующих формул:

При мер 7.5. Найти решение системы

удовлетворяющее начальным условиям x =o = хо = (0,1,1)т. Решение. Выражение

входящее в формулу (7.23), найдено в предыдущем примере. Чтобы вычислить интеграл, входящий в эту формулу, составим сначала спектральное разложение для матрицы еА^~т^. Для этого в формуле (7.19) положим /(А) = еА(*~т^ и получим

Матрицы Zkj также найдены в предыдущем примере. Теперь нужный интеграл распишется в виде

Вычислим интегралы, стоящие в правой части этого равенства:

Таким образом,

Следовательно, искомое решение имеет вид:

Упражнения

7.1. Для функции /(А) = Л-1 построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра, удовлетворяющий следующим интерполяционным условиям: Р( 1) = /(1), ^(1) = /;(1), Р(2) = /(2), P'(2) = f'(2).

7.2. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра, вычислить следующие значения функций от матриц:

7.3. Найти компоненты матрицы

и вычислить матрицы sin A, tg j А, А-1, A100, eAt.

7.4. Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям X =o = 1, ?2^=0 = 1, |*=о =

= 1.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы