Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Определение евклидова пространства. Матрица Грама

Говорят, что в действительном линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из X поставлено в соответствие действительное число, которое называют скалярным произведением векторов х и у и обозначают символом {х,у), и если для любых х. у, zX и любого действительного числа а выполняются следующие аксиомы скалярного произведения:

  • 1. (х,у) = (у,;х).
  • 2. (.т + у, z) = (x,z) + (у, г).
  • 3. {ах,у) = а(х,у).
  • 4. (х, х) > 0 при х Ф 0 и (х, х) = 0 при х = 0.

Пример 8.1. Пусть X — пространство геометрических векторов, изучаемых в векторной алгебре. Скалярное произведение, определяемое как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними, удовлетворяет аксиомам скалярного произведения. ?

Пример 8.2. В арифметическом пространстве Кп столбцов высоты п скалярное произведение векторов

можно определить формулой

Нетрудно проверить выполнимость аксиом скалярного произведения. Например, проверим выполнимость аксиомы 4. Заметим, что

Но сумма квадратов положительна, если хотя бы одно из чисел Xi ненулевое (или х ф 0), и равна нулю, если все х* равны нулю (т.е. х = 0). ?

Пример 8.3. В линейном пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше п — 1 скалярное произведение можно ввести формулой

Проверка аксиом скалярного произведения опирается на свойства определенного интеграла и не составляет труда. ?

Пример 8.4. В линейном пространстве Са, Ъ] функций действительного переменного, непрерывных на отрезке [а, 6], скалярное произведение можно ввести таким же образом, как и в линейном пространстве многочленов — с помощью определенного интеграла:

Проверка аксиом скалярного произведения проводится так же, как и в предыдущем примере. ?

Из аксиом 2 и 3 следует, что любую конечную линейную комбинацию векторов моэюно умноэюать скалярно на другую линейную комбинацию векторов по правилу умноэюения многочлена на многочлен, т.е. по формуле

Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное умножение векторов, называют евклидовым пространством. Конечномерное линейное пространство можно превратить в евклидово многими способами. Если в n-мерном евклидовом пространстве X фиксирован базис е, е^, ..., еп, то любые векторы х и у имеют в нем разложения

и формула (8.1) для векторов хну дает

или в матричном виде где положено

Таким образом, скалярное произведение в евклидовом пространстве X полностью определяется матрицей Г. Не всякая квадратная матрица может появиться в формуле (8.3). Но если одно скалярное произведение в заданном базисе определяется некоторой матрицей Г, то нетрудно понять, что та же матрица, только в другом базисе также определяет скалярное произведение. Сохраняя матрицу Г и меняя базисы, мы получим бесконечное множество скалярных произведений в данном гг-мерном линейном пространстве.

Матрицу Г, участвующую в формуле (8.3), называют матрицей Грама базиса е = (ех, в2,..., еп). Матрицу Грама (матрицу скалярных произведений) можно определить не только для базисов, но и для произвольных упорядоченных конечных систем векторов.

Отметим некоторые свойства матрицы Грама базиса в п-мерном евклидовом пространстве.

1. Матрица Грама Г симметричная и для любого п-мерного столбца х ф 0 удовлетворяет условию хТ Г х > 0, в частности, диагональные элементы (ei,ej) = ef Г е* матрицы Грама полоэюительные.

Симметричность матрицы Грама вытекает из аксиомы 1 скалярного произведения, согласно которой (е*, ej) = (е^, е*) для любых двух векторов базиса, а условие хТ Г х > 0, х ф 0, равносильно аксиоме 4 скалярного произведения.

Симметричную матрицу А, удовлетворяющую условию хт Ах > > 0, х Ф 0, называют положительно определенной. С учетом этого термина доказанное свойство звучит так: матрица Грама является положительно определенной.

2. Матрицы Грама Г и Г' двух базисов е и е' евклидова пространства связаны соотношением

где Т — матрица перехода от базиса е к базису е'.

Действительно, при переходе от базиса е к базису е! координаты х и у двух векторов х и у преобразуются в координаты х' и у' по формулам (см. разд. 4.6)

Поэтому

Следовательно, матрица ТТ Г Т есть матрица Грама для базиса е!.

3. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

Действительно, из формулы (8.4) вытекает, что при замене базиса определитель матрицы Грама сохраняет знак (или остается равным нулю), так как определитель матрицы перехода ненулевой:

Остается учесть, что в качестве матрицы Грама Г можно взять единичную матрицу (см. замечание ниже), которая имеет определитель, равный единице.

4. Все угловые диагональные миноры

матрицы Грама базиса elf е2, ... еп положительны.

Действительно, для любого к можно рассмотреть подпространство Lfc = (ei,...,efc) как самостоятельное евклидово пространство.

Тогда определитель матрицы Грама для базиса ei, 62, ..., будет совпадать с Д^. Согласно предыдущему свойству этот определитель положителен.

Замечание. В разд. 9.С установлено, что свойство 4 — необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратной матрицы. Поэтому свойство 4 вытекает из свойства 1. Любая положительно определенная матрица является матрицей Г рама некоторого базиса в данном евклидовом пространстве. Действительно, скалярное произведение можно определить формулой (8.3), в которой в качестве Г можно взять любую положительно определенную матрицу. Тогда аксиома 1 скалярного произведения будет вытекать из симметричности матрицы Г, аксиомы 2 и 3 — из свойства дистрибутивности матричного произведения, а аксиома 4 — из условия положительной определенности Г. Следовательно, любая матрица, обладающая свойством 4, может рассматриваться как матрица Грама. В частности, в качестве матрицы Грама можно выбрать единичную матрицу, т.е. в заданном базисе е, ..., еп определить скалярное произведение

формулой

Как уже отмечено, понятие матрицы Грама можно ввести для произвольной упорядоченной конечной системы векторов. При этом и в общем случае матрица Грама остается симметричной, но остальные свойства (положительная определенность, положительность определителя) утрачиваются. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 8.1. Матрица Грама системы векторов является невырожденной тогда и только тогда, когда эта система линейно независима. Матрица Грама линейно независимой системы векторов положительно определенная и, в частности, имеет положительный определитель. Определитель матрицы Грама линейно зависимой системы векторов равен нулю.

> Любая линейно независимая система векторов может рассматриваться как базис в некотором евклидовом пространстве, а именно в своей линейной оболочке. По свойствам матрицы Грама базиса матрица Грама рассматриваемой системы векторов положительно определенная. Следовательно, все ее угловые миноры, в частности, ее определитель, положительны. Это означает также, что матрица Гра- ма линейно независимой системы векторов невырожденная.

Рассмотрим далее произвольную линейную комбинацию системы векторов ai, й2, ..., ак, равную нулю:

Умножая это векторное равенство скалярно на векторы а, а 2, а к,

получим однородную систему линейных уравнений

относительно коэффициентов ац, рассматриваемой линейной

комбинации. Матрицей этой системы является матрица Грама Г системы векторов а, а,2, ..., CLk• Если матрица Г невырождена, то однородная система имеет только нулевое решение. Это означает, что рассматриваемая система векторов а, а 2, •••, а к линейно независима.

Если система векторов а, <22, •••> линейно зависима, то рассматриваемая линейная система имеет ненулевые решения. Поэтому ее определитель, т.е. определитель матрицы Грама Г рассматриваемой системы векторов, равен нулю.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы