Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации

Длиной | ж | вектора х евклидова пространства называют величину

Нормировать вектор х — значит заменить его вектором

Вектор т° называют единичным вектором, или ортом вектора х.

Углом между ненулевыми векторами хну евклидова пространства Е называют угол <р, определяемый соотношениями

Корректность определения угла вытекает из неравенств

равносильных неравенству Коши-Буняковского

Докажем неравенство Коши-Буняковского. Для любых векторов х и у и любого числа а выполняется неравенство (х — а у, х — а у) ^ 0. Из этого неравенства получаем:

Левая часть последнего неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно а. Поскольку этот трехчлен неотрицательный, его дискриминант не превышает нуля, т.е.

Отсюда следует неравенство (8.9).

Определим в n-мерном линейном пространстве скалярное произведение векторов

формулой

Тогда неравенство Коши-Буняковского, выраженное через координаты векторов, примет вид:

В общем случае скалярное произведение в координатах выражается через матрицу Грама Г = (gij) формулой

а неравенство Коши-Буняковского принимает вид:

Из неравенства Коши-Буняковского вытекает другое важное неравенство

называемое неравенством треугольника. Действительно, раскрывая величину х + у2 как скалярный квадрат и учитывая, что в силу неравенства Коши-Буняковского (х,у) ^ |.т| |у|, находим:

Отсюда следует неравенство треугольника.

Векторы х и у евклидова пространства Е называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. если (ж, у) = 0. Непосредственно из определения ортогональности векторов вытекает, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору.

Система ненулевых векторов называется ортогональной системой, если любые два вектора этой системы ортогональны. Под ортонормированной системой понимают ортогональную систему, все векторы которой имеют единичную длину (т.е. нормированы). Отметим, что любую ортогональную систему можно превратить в ор- тонормированную простой нормировкой, так как нормирование векторов, как и вообще умножение векторов на произвольные ненулевые числа, не нарушает условия их взаимной ортогональности. Например, если векторы х и у ортогональны, то в силу равенства

векторы ах и Ру также ортогональны.

Теорема 8.2. Любая ортогональная система векторов линейно независима.

> Пусть система а±, «2, ..., а к — произвольная ортогональная система векторов. Это означает, что все векторы щ ненулевые, т.е. (ai,ai) ф 0, и попарно ортогональны, т.е. (щ,сгу) = 0 при г ф j. Чтобы доказать линейную независимость рассматриваемой системы векторов, приравняем к нулю произвольную линейную комбинацию

и докажем, что из этого равенства вытекает равенство нулю всех коэффициентов ai линейной комбинации. Умножим векторное равенство скалярно на произвольный вектор aj рассматриваемой ортогональной системы. Получим:

В силу соотношений (a,i,aj) = 0, г ф j, равенство упрощается:

Поскольку (aj,Oj) ф 0, то оу = 0. Так как номер j = 1, 2, ..., к выбирается произвольно, заключаем, что ал = аг = ... = а& = 0. ?

Существуют ли ортогональные системы векторов в произвольном евклидовом пространстве? Ответ на этот естественный вопрос положительный. Существует специальная процедура, которая позволяет преобразовать произвольную линейно независимую систему из к векторов в ортогональную систему, также имеющую к векторов. Эту процедуру называют процессом ортогонализации, и состоит она в следующем.

Пусть система векторов <22, ..., линейно независима. Положим Ь = ОД, &2 = 0'2 + (321 И ИЗ условия

найдем коэффициент

Поэтому

Пусть таким образом уже построена система попарно ортогональных векторов &i, 62, ..., bi-. Тогда положим

и из условий

найдем коэффициенты

Поэтому равенство (8.10) примет вид

Так будем поступать до тех пор, пока не построим систему попарно ортогональных векторов b, b2, ЪОстается заметить, что все

векторы &i, 62, bk ненулевые. Действительно, если предположить, что какой-либо вектор

то вектор di можно представить в виде линейной комбинации

векторов 61, &2, • ••, bi-1. Но каждый вектор 61, 62, • ••, Ы-i по построению является линейной комбинацией векторов а, а>2, ..., «г-i- Поэтому вектор сц будет линейной комбинацией векторов а 1, <22, ..., сц_х, что противоречит линейной независимости системы векторов а, <22, ..., ак.

Итак, в результате процесса ортогонализации линейно независимой системы к векторов получается система, состоящая из к ненулевых попарно ортогональных векторов.

Процесс ортогонализации рассчитан на линейно независимые системы векторов. Но этот процесс можно модифицировать так, что станет возможным его применение и к линейно зависимым системам векторов. Если система а, а2, ..., ац линейно зависима, то один из векторов щ, является линейной комбинацией предыдущих векторов ai, <22, ..., 1. В результате процесса ортогонализации на г-м шаге получим нулевой вектор 6*. Мы опускаем этот вектор и начинаем следующий шаг. В результате мы придем к ортогональной системе векторов &i, &2, • ••, bs, но в этой системе будет меньше векторов, чем в исходной системе <24, <22, ..., од, т.е. s < к. Число s на самом деле есть ранг системы векторов <21, <2,2, ..., а*,.

Пример 8.5. Применяя процесс ортогонализации и нормирование векторов, ортонормировать систему векторов

считая, что в четырехмерном евклидовом пространстве Ел скалярное произведение определено формулой (8.5).

Решение. Положим b = а = (1,1, О, 0)т. В соответствии с формулой (8.11) находим:

Далее находим 63:

Наконец, вычисляем 64:

Нормируя векторы Ь, 62, 63? Фь придем к ортонормированной системе векторов

Пример 8.6. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 ортонормировать систему векторов f(x) = 1, /2 (ж) = х, /з(ж) = х2, Д(ж) = ж3, если скалярное произведение в этом линейном пространстве определено формулой

Решение. Положим

Далее по той же формуле вычисляем

где

В результате

Наконец

где

Таким образом,

Нормируя полученные векторы 2, <^3> 1 придем к ортонорми-

рованной системе

О другом подходе к ортонормированным систем см. разд. 8.17.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы