Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Ортогональные матрицы

Квадратная матрица Q, для которой транспонированная матрица QT совпадает с обратной матрицей Q-1, называется ортогональной матрицей. Квадратная матрица Q является ортогональной, если и только если QT Q = Q QT = Е.

Приведем основные свойства ортогональных матриц.

1. Квадратная матрица Q ортогональная тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого ее столбца (строки) равна единице, а сумма попарных произведений элементов двух любых столбцов (строк) равна нулю.

Действительно, диагональные элементы матрицы QT Q равны сумме квадратов элементов соответствующих столбцов матрицы Q, а недиагональные элементы равны сумме попарных произведений элементов двух столбцов. Поэтому сформулированное утверждение означает, что QT Q = Е. Утверждение для строк вытекает из рассмотрения произведения QQT.

  • 2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или
  • -1.

Из свойств определителей матриц следует Поэтому |Q| = ±1.

3. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоэюе ортогональная.

Действительно,

т.е. транспонированная к матрице Q-1 совпадает с обратной к этой матрице. А это по определению и означает, что Q~l ортогональная.

4. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Для двух ортогональных матриц Q и R имеем

что и означает ортогональность матрицы Q R. Доказательство для произведения большего числа ортогональных матриц можно провести по методу математической индукции.

Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема.

Теорема 8.5. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированно- му базису является ортогональной. Если матрица перехода от ортонормированного базиса ко второму базису является ортогональной, то этот второй базис тоже ортонормированный.

> Пусть е — ортонормированный базис, а Т — матрица перехода от базиса е к базису е!. Тогда матрица Грама Г' для базиса е! равна: Г7 = Тт Г Т = Тт Т, где Г = Е — матрица Грама для базиса е (см. разд. 8.1). Если базис е' ортонормированный, то Г7 = Е и ТтТ = Е, т.е. матрица Т ортогональная. Если Т ортогональная, то Тт Т = Е, матрица Грама Г7 = Тт Т базиса е7 оказывается единичной, а сам базис — ортонормированным. ?

Пример 8.8. В двумерном евклидовом пространстве Е2 рассмотрим базис е7, который получается поворотом ортонормированного базиса е на угол а. Тогда [ej]e = (cos a, sin а)т и [eye = (—sin a, coso;)T. Следовательно, матрица перехода T от базиса е к базису е! имеет вид

Поворот векторов сохраняет их длины и углы между ними. Поэтому базис е7 ортонормированный. Непосредственной проверкой легко убедиться, что

т.е. матрица Т ортогональная. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы