Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Симметричные (самосопряженные) операторы

Линейный оператор р, действующий в евклидовом пространстве Е, называют симметричным,, или самосопряэюенным, если он является сопряженным с самим собой, т.е. если р* = р. Оператор р является самосопряженным тогда и только тогда, когда для любых векторов х, у ? Е выполняется равенство

Теорема 8.15. Симметричный оператор в любом ортоиор- мированиом базисе евклидова пространства имеет симметричную матрицу. Наоборот, если линейный оператор р в каком-либо ор- тонормированном базисе имеет симметричную матрицу, то этот оператор симметричный.

> Пусть оператор р симметричный и в некотором ортонормиро- ванном базисе евклидова пространства Е имеет матрицу А. Тогда в соответствии с теоремой 8.10 матрицей оператора р* в том же базисе будет матрица Ат. Поскольку р = р*, то А = Ат. Это означает, что матрица А симметрична.

Обратно, пусть оператор р в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства Е имеет симметричную матрицу А. Тогда в том же базисе оператор р* имеет матрицу Ат. Поскольку для симметричной матрицы А выполняется соотношение Ат = А, то для операторов р* и выполняется соотношение (р* = <р. Следовательно, оператор р симметричный. ?

Отметим некоторые свойства симметричных операторов.

1. Тождественный оператор является симметричным.

Действительно, матрица тождественного оператора в любом базисе, в том числе и ортонормированном, — единичная матрица, а такая матрица симметричная.

2. Сумма симметричных операторов — симметричный оператор.

Это утверждение вытекает из свойства симметричных матриц, в соответствии с которым сумма симметричных матриц является симметричной матрицей.

3. Произведение симметричного оператора на действительное число — симметричный оператор.

Это свойство вытекает из соответствующего свойства симметричных матриц.

4. Если симметрический оператор р имеет обратный оператор р~1, то этот оператор симметричный.

Свойство вытекает из свойства матриц, согласно которому матрица, обратная к симметричной матрице, симметричная.

5. Для симметричных операторов риф произведение рф является симметричным оператором в том и только в том случае, когда операторы риф перестановочны, т.е. если рф = фр.

Действительно, для симметричных операторов риф имеем

Поэтому равенство (рф)* = рф, означающее симметричность произведения рф равносильно равенству рф = рф, означающее перестановочность риф.

Теорема 8.16. Пусть р — симметричный оператор в евклидовом пространстве Е. Если L — инвариантное подпространство оператора р, то и ортогональное дополнение L1инвариантное подпространство оператора р.

> Утверждение непосредственно вытекает из теоремы 8.12: если L — инвариантное подпространство оператора р, то Lх — инвариантное подпространство оператора р*, который на самом деле и есть оператор р. ?

Теорема 8.17. Все корни характеристического многочлена симметричного оператора действительные.

> Пусть р — симметричный оператор с матрицей А в каком-либо ортонормированном базисе. Рассмотрим произвольный корень Ао характеристического многочлена А — Е оператора р. Однородная система линейных уравнений (А — Ао Е) х = 0 имеет ненулевые решения (возможно, комплексные), поскольку матрица системы имеет нулевой определитель. Пусть х = (xi, Х2, ???, хп)Т — одно из таких решений. Тогда Ах = Аох. Умножим обе части этого матричного равенства на строку хт:

Произведение хт х представляет собой действительное число, не равное нулю, так как

Покажем, что в случае симметричной матрицы А произведение хт А х также является действительным числом. Это произведение есть квадратная матрица порядка 1, т.е. число, а потому не изменяется при транспонировании. Следовательно,

В то же время

В этих равенствах правые части одинаковы. Значит, и левые части тоже равны, т.е. хт Ах = хт Ах. Поэтому число хт А х является действительным, как совпадающее со своим комплексно сопряженным числом. Из равенства (8.35) вытекает, что число Ао, равное отношению двух действительных чисел, является действительным числом. ?

Замечание. Из доказанной теоремы вытекает, что все характеристические корни симметричной матрицы А являются действительными. В самом деле, достаточно рассмотреть оператор, матрицей которого в ортонормированном базисе является матрица А. Этот оператор будет симметричным, а его характеристический многочлен будет совпадать с характеристическим многочленом матрицы А.

Теорема 8.18. Собственные векторы симметричного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

> Пусть выполняются равенства рх = Хх, ру = цу, где Л ф ц. По условию р — симметричный оператор. Поэтому (рх,у) = (х,ру), которое для рассматриваемых векторов х и у принимает вид Л (ж, у) = = ц(х,у). Перенося правую часть в левую, заключаем, что

А так как Л — /г ^ 0, то (х, у) = 0, т.е. векторы х и у ортогональны. ?

Основное свойство симметричных операторов состоит в следующем.

Теорема 8.19. Линейный оператор р, действующий в евклидовом пространстве Е, является симметричным тогда и только тогда, когда в Е существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора р.

> Если е — ортонормированный базис в Е, состоящий из собственных векторов линейного оператора р, то матрица оператора р в этом базисе диагональная (см. теорему 5.17). Диагональная матрица является симметричной. Поэтому оператор р, имеющий симметричную матрицу в ортонормированном базисе, является симметричным (см. теорему 8.15).

Доказательство обратного утверждения проведем методом математической индукции по числу п измерений евклидова пространства Е. При п = 1 утверждение теоремы тривиально, так как в одномерном евклидовом пространстве любой вектор отображается в коллине- арный ему. Следовательно, любой базис состоит из собственных векторов.

Допустим, что утверждение верно для евклидовых пространств размерности п — 1, и рассмотрим произвольное евклидово пространство Е размерности пив нем симметричный оператор р. В силу теорем 5.11 и 8.17 любой симметричный линейный оператор р имеет собственные значения, а следовательно, и собственные векторы. Пусть е — собственный вектор оператора р, принадлежащий собственному значению Л. Можно считать, что этот вектор единичный, так как иначе его можно нормировать. Одномерное пространство Е, порожденное вектором ei, является инвариантным для оператора р. Ортогональное дополнение Et к подпространству Е также инвариантно относительно оператора р (см. теорему 8.1G). Это подпространство является (п— 1)-мерным, оператор р в Е^ симметричный. Поэтому в соответствии с индуктивным предположением в можно выбрать ортонормированный базис в2, ..., еп из собственных векторов оператора р. Добавив к этому базису вектор е, получим базис в Е. Этот базис является ортонормированным, так как, во-первых, все векторы в нем единичные, а во-вторых, они попарно ортогональны. Кроме того, каждый вектор ег — это собственный вектор оператора р. Значит, базис ei, в2, ..., еп есть ортонормированный базис в Е, состоящий из собственных векторов оператора р. Согласно методу математической индукции каждое конечномерное евклидово пространство имеет ортонормированный базис из собственных векторов симметричного оператора. ?

Следствие. Симметричный оператор является оператором простой структуры.

Непосредственно из доказанной теоремы вытекающее утверждение.

Теорема 8.20. Любая симметричная матрица А с помощью ортогональной матрицы Т приводится к диагональному виду, т.е. существует такая ортогональная матрица Т, что матрица

диагональная. Любая симметричная матрица А имеет каноническое разложение

с ортогональной матрицей Т.

> Симметричную матрицу- А можно рассматривать как матрицу некоторого симметричного оператора в ортонормированном базисе евклидова пространства. Такой оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов, в котором матрица оператора есть некоторая диагональная матрица Л. Матрицы А и Л, как матрицы одного оператора в разных базисах, подобны, т.е. имеет место равенство (8.3G), в котором Т, как матрица перехода из одного ортонорми- рованного базиса в другой ортонормированный базис, ортогональна (см. теорему 8.5). Второе утверждение теоремы — очевидная переформулировка первого, поскольку равенства (8.36) и (8.37) равносильны. ?

Правило построения ортогональной матрицы Т, входящей в соотношения (8.36) и (8.37), сохраняется таким же, как и для любых операторов простой структуры (см. раздел 5.8) с единственным различием. Построенную по этому правилу систему собственных векторов оператора для каждого его собственного значения необходимо еще ортонормировать. Поясним это на примере.

Пример 8.15. Построить каноническое разложение симметричной матрицы

с ортогональной трансформирующей матрицей.

Решение. Характеристический многочлен матрицы А

имеет корни Ai = Л2 = A3 = 1, Л4 = —3. Все они являются собственными значениями матрицы А.

При А = 1 система (А — А Е) х = 0 имеет фундаментальную систему из трех решений, например, а = (1,1,0,0)т, а2 = (1,0,1,0)т, аз = (—1,0,0,1)т. Так как мы строим каноническое разложение матрицы А с ортогональной трансформирующей матрицей, то дополнительно нужно обеспечить, чтобы ФСР была ортонормированной системой. Для этого систему собственных векторов а, аг, аз ортонормируем. В результате получим ортонормированную систему векторов

При Л = —3 система (А — Е)х = 0 имеет фундаментальную систему решений из одного вектора, например, оц = (1,— 1,—1,1 )т. Нормируя его, получим е'4 = | (1, —1, —1,1)т. Собственные векторы е[, е'2, 63, е'4 матрицы А составляют ортонормированный базис в четырехмерном евклидовом пространстве. Из столбцов координат этих векторов составим матрицу Т и запишем искомое каноническое разложение

Представление симметричных матриц в виде канонического разложения с ортогональной трансформирующей матрицей имеет самое широкое применение в теории и приложениях. Для построения такого канонического разложения применимы и косвенные способы, например, метод вращений (см. разд. 11.1).

Симметричный оператор 9? называют неотрицательным (положительно определенным), если дли любого ненулевого вектора х выполняется неравенство (х) > 0). Если симметричный оператор <р неотрицательный (полооюительно определенный), то

пишут ^ 0 ( 0).

Теорема 8.21. Симметричный оператор является неотрицательным (положительно определенным) тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательные (положительные).

> Если симметричный оператор является неотрицательным, то для любого собственного значения Л и принадлежащего ему собственного вектора х имеем

Поскольку х2 > 0, то А ^ 0. Аналогичен случай положительно определенного оператора: достаточно нестрогие неравенства заменить строгими.

Пусть все собственные значения Ai, А2, ..., Ап симметричного оператора неотрицательные. В евклидовом пространстве выберем базис ei, е2, ..., еп из собственных векторов оператора <р, упорядочивая векторы базиса так, что p>ei — А^е*, г = 1,2, ...,п. Тогда для любого вектора х = х е +Х2 e +... + хпеп с учетом равенств (е*, ej) = 0 при г j и (е*, ei) = 1 получим

Следовательно, оператор неотрицательный. В случае, когда все собственные значения положительные, неравенство (<р:г, т) ^ 0 на самом деле будет строгим, а оператор — положительно определенным. ?

Теорема 8.22. Для любого неотрицательного оператора <р и любого натурального числа т существует, и притом единственный, неотрицательный оператор f, такой, что fm = (р. Если положительно определенный, то и / положительно определенный.

Неотрицательный оператор /, удовлетворяющий условию /т = называют арифметическим корнем т-й степени из неотрицательного оператора <р.

> Пусть р — неотрицательный оператор в n-мерном евклидовом пространстве Е. Так как неотрицательный оператор по определению симметричный, в Е существует ортонормированный базис е из собственных векторов оператора р. В этом базисе оператор р имеет диагональную матрицу

причем все диагональные элементы А* — собственные числа оператора р и все они неотрицательны. Рассмотрим линейный оператор /, который в базисе е имеет матрицу

Оператор / симметричный, так как его матрица в ортонормирован- ном базисе е симметричная. Все его собственные числа — это диагональные элементы матрицы F. Они неотрицательны, а следовательно, оператор / неотрицательный. Наконец, из очевидного равенства Frn = А вытекает равенство frn = р.

Пусть д — другой неотрицательный линейный оператор, для которого дт = р. Существует ортонормированный базис е! из собственных векторов оператора д, в котором его матрица диагональная. В этом базисе матрица оператор р также диагональная. Значит, базис е' состоит из собственных векторов оператора <р. Нетрудно заключить, что собственные подпространства оператора д совпадают с собственными подпространствами оператора /, построенного ранее, причем и собственные значения этих операторов одинаковые. Отсюда следует, что операторы / и д совпадают. ?

Введенные понятия и доказанную теорему можно перенести на матрицы следующим образом (см. гл. 9).

Симметричную матрицу А называют неотрицательной (положительно определенной), если для любого столбца х Ф 0 выполняется условие хТ Ах ^ 0 (х1 Ах > 0). В этом случае пишут соответственно А ^ 0 и А > 0. Симметричная матрица является неотрицательной (положительно определенной) тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа неотрицательные (положительные).

Арифметическим корнем т-й степени из неотрицательной матрицы А называют такую неотрицательную матрицу В, что Вт = А. Как следует из теоремы 8.22, любая неотрицательная матрица имеет единственный корень m-й степени, причем если матрица положительно определенная, то и корень m-й степени — положительно определенная матрица.

При вычислении арифметического корня /Л достаточно построить каноническое разложение А = Т ЛТ-1. Тогда /А = Т /ЛТ-1, где корень m-й степени из диагональной матрицы Л вида (8.38) вычисляется согласно равенству (8.39).

Пример 8.16. Для матрицы

построить каноническое разложение с ортогональной трансформирующей матрицей и, пользуясь им, найти у/А.

Решение. Характеристический многочлен

имеет корни Ai = 81, А2 = Аз = 9. Поэтому матрицей Л является

Определим трансформирующую ортогональную матрицу Т. Для этого для каждого собственного значения Aj нужно построить фундаментальную систему решений однородной системы (А — А* Е) х = О и ортонормировать ее, а затем из полученных столбцов собрать матрицу Т.

При Ai = 81 эта система имеет вид

Фундаментальная система решений содержит одно решение, например Ь = (1,2,2)т. Нормируя его, находим е = |(1,2,2).

При Л2 = Аз = 9 рассматриваемая система имеет вид:

Ее общим решением является ж = (—2жг — 2жз,Ж2,жз)т, а фундаментальная система решений состоит из двух столбцов, например 62 = = (—2, — 1,2)т и &з = (2, —2,1)т. Эти векторы, оказывается, уже ортогональны. Поэтому остается их лишь нормировать. В результате получим ортонормированную систему векторов е'2 = |(—2, — 1,2)т, е3 = |(2, — 2,1)т. Из столбцов координат векторов еф е^, е'3 составляем ортогональную матрицу

Поэтому искомое каноническое разложение матрицы А имеет вид:

Теперь находим

Замечания. 1. При вычислении корня m-й степени матрицы можно использовать канонические разложения, в которых трансформирующая матрица не является ортогональной.

  • 2. При компьютерных вычислениях корней из неотрицательных матриц эффективным методом получения канонического разложения является метод вращений (см. разд. 11.1).
  • 3. О всех корнях из матрицы см. [7], гл. VIII.

Следующая теорема дает примеры неотрицательных (положительно определенных) симметричных операторов.

Теорема 8.23. Для любого линейного оператора р, действующего в евклидовом пространстве Е, операторы р*р и рр* являются неотрицательными, т.е. эти операторы симметричные, а все их собственные числа неотрицательные.

> Симметричность оператора р* р следует из равенств Далее, для любого вектора х имеем:

что и означает неотрицательность оператора р* р. Если положить ф = = р*, то рр* = ф* ф, так что утверждение теоремы для оператора р р* уже доказано. ?

Теорема 8.24Для любого линейного оператора р, действующего в евклидовом пространстве Е, и для любого натурального числа т существуют, и притом единственные, операторы f и /2, для которых

> Сформулированное утверждение является прямым следствием теорем 8.22 и 8.23. ?

Согласно теореме 8.24 для любого оператора р в евклидовом пространстве определены операторы фр* р и фр р*, называемые соответственно правым и левым модулями оператора р.

Утверждения теорем 8.23 и 8.24 можно распространить на случай оператора, действующего из одного евклидова пространства в другое.

Теоремы 8.23 и 8.24 несложно переформулировать в терминах матриц.

Для любой (вообще говоря, прямоугольной) действительной матрицы А матрицы АТ А и А Ат являются симметричными неотрицательными; существуют однозначно определенные арифметические корни любой натуральной степени т из матриц АТ А и А Ат, являющиеся неотрицательными матрицами. В частности, однозначно определены корни VaTa и Vaa*.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы