Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Метод регуляризации для систем линейных уравнений

Пусть дана произвольная (совместная или несовместная) система А х = b из т линейных уравнений с действительными или комплексными коэффициентами и п неизвестными.

Для получения нормального псевдорешения этой системы, кроме указанных выше (см. разд. 8.21) способов, применим также метод регуляризации. Он состоит в следующем.

1. Составляют функцию

где а > 0, и находят вектор ха, при котором эта функция достигает своего минимума. Таким вектором является решение

системы

Эта система содержит регуляризационный параметр а. При равенстве нулю параметра а она превращается в систему нормальных уравнений системы Ах = Ь.

В действительном (вещественном) случае к системе (8.86) можно прийти, приравняв к нулю дифференциал

функции Fa(x), или, что то же самое, приравняв к нулю первые частные производные этой функции ПО Х, Х2, хп.

Примечание. При вычислении дифференциала dFa(x) использовано то обстоятельство, что вещественные выражения (Ax—b)*Adx и х* dx, являясь матрицами первого порядка, не меняются при транспонировании и комплексном сопряжении и потому совпадают соответственно с выражениями dx* А* (Ах — b) и dx* х.

2. В полученном векторе ха = (А* А + a E)~l А* b переходят к пределу при а —> +0. Этот предел дает нормальное псевдорешение системы Ах = Ь, поскольку (см. и. 8.20)

Метод регуляризации обычно применяют при решении плохо обусловленных систем уравнений, причем при программной реализации на компьютере (в рамках численных расчетов) функцию (8.84) рассматривают при конкретных значениях параметра а. При каждом таком значении а из системы (8.86) определяют конкретное приближение ха к искомому нормальному псевдорешению системы Ах = Ь.

Для вычисления вектора ха применимы также формулы

где г — ранг х п)-матрицы А; а02, ..., аг — ненулевые сингулярные числа матрицы А; е, б2, ..., еп и /i, /2, ..., /п — сингулярные базисы.

Если матрица А порядка п и ранга г симметричная, то применима формула

где ei, в2, er — ортонормированная система собственных векторов оператора с матрицей А, принадлежащих ненулевым собственным значениям Ai, А2, Аг.

Пример 8.42. Методом регуляризации найти нормальное псевдорешение системы

Решение. Составим систему {А* А + аЕ)х — А* Ь, которая в данном случае имеет вид:

Решая эту систему, находим

Отсюда, переходя к пределу при а —)• +0, получим искомое нормальное псевдорешение

Для отыскания ха по формуле (8.89) сначала найдем собственные значения Ai = 3, А2 = 2, A3 = 0 матрицы А и соответствующие им собственные векторы

Затем по формуле (8.89) при а —> +0 получаем

Пример 8.43. Методом регуляризации найти нормальное псевдорешение системы

Решение. Составим систему (А* А + а Е) х = А* Ь. В рассматриваемом случае она имеет вид

Решая эту систему, получим

Переходя к пределу в ха при а —> +0 , находим искомое нормальное псевдорешение х° = ^ (1 + г, 1 — г)т. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы