Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Упражнения

8.1. Пусть х = (х,Х2)т, у = {yi,y2)T — произвольные векторы двумерного линейного пространства, заданные координатами в фиксированном базисе е, е2. Убедиться, что скалярное произведение векторов в этом пространстве можно задать следующими способами:

Вычислить скалярное произведение векторов х = (1,1)т и у = = (2, — 1)т при каждом из указанных способов его задания.

8.2. Пусть в двумерном линейном пространстве в базисе е, е2 скалярное произведение задано формулой

где числа од и а.22 положительные, а 12 = «21 и удовлетворяют условию ац • агг > «12 • агъ Убедиться в том что а^- = (ei,ej), i,j = 1,2, и записать матрицу Грама базиса е, ег.

8.3. В трехмерном линейном пространстве задана матрица Грама

базиса е, в2, ез. Записать формулу скалярного умножения векторов и, пользуясь ею, вычислить скалярные произведения (е^е^), i,j = = 1,2,3, а также скалярное произведение векторов х и у, если:

8.4. Считая, что векторы заданы координатами в ортонормированием базисе, с помощью процесса ортогонализации ортогонализи- ровать следующие системы векторов:

  • 8.5. Ортонормировать системы векторов предыдущего упражнения.
  • 8.6. Применяя процесс ортогонализации, ортогонализировать систему векторов си = (1,0,1)т, о>2 (0,1,1)т, аз = (0,0,1)т, заданных координатами в базисе е, в2, ез с матрицей Грама

8.7. Считая, что векторы заданы координатами в ортонормированием базисе, убедиться, что следующие системы векторов ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов пространства:

8.8. Дополнить следующие ортонормированные системы векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, до орто- нормированных базисов пространства:

8.9. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис пространства, натянутого на следующие системы векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе:

8.10. Найти базис ортогонального дополнения L1- подпространства L, натянутого на векторы а, а2, заданные координатами в ортонормированном базисе:

  • 8.11. Найти системы линейных уравнений, задающих подпространства L и L-*? предыдущего упражнения.
  • 8.12. Найти систему уравнений, задающую ортогональное дополнение ХА, если подпространство L задано системой уравнений

8.13. Найти ортогональную проекцию гг о и ортогональную составляющую аА вектора х на линейное пространство L = (а,а2,а^), если:

8.14. Найти ортогональную проекцию х$ и ортогональную составляющую яА вектора х = (—3,0, —5,9)т на подпространство L, заданное системой уравнений

8.15. Считая, что векторы заданы в ортонормированном базисе, ортонормировать систему векторов

8.16. Считая, что векторы заданы в ортонормированном базисе,

убедиться в ортогональности системы векторов а, и дополнить эту

систему векторов до ортогонального базиса пространства:

401

8.17. Найти матрицу перехода от базиса е, ег, ез к базису

и убедиться в том, что полученная матрица является унитарной.

8.18. Пусть ei, б2 — ортонормированный базис в X и линейный оператор ср в базисе е = е1? е'2 = е + е2 имеет матрицу

Найти матрицу сопряженного оператора (р* в базисе е^, е'2.

8.19. Линейный оператор в базисе е!х — (1,2,1)т, е'2 = (1,1,2)т, вз = (1,1,0)т имеет матрицу

Найти матрицу сопряженного оператора

8.20. Пусть скалярное произведение в базисе е задано формулой а линейный оператор — матрицей

Найти матрицу сопряженного оператора <р* в том же базисе.

8.21. Пусть даны матрица Грама Г базиса е и матрица А линейного оператора в этом базисе:

Найти матрицу сопряженного оператора

8.22. Построить канонические разложения с ортогональными трансформирующими матрицами для следующих симметричных матриц:

8.23. Убедиться в положительной определенности матрицы и найти квадратный корень из нее:

8.24. Применяя процесс ортогонализации, привести к треугольному виду матрицы из упражнений 8.22, 8.23 и следующие матрицы:

  • 8.25. Ортогональными (унитарными) преобразованиями привести матрицы из упражнений 8.22-8.24: 1) к треугольному виду; 2) к двухдиагональному виду.
  • 8.26. Ортогональными (унитарными) преобразованиями привести к подобной матрице почти треугольного вида каждую из следующих матриц:

8.27. Найти канонический вид В ортогональной матрицы А и ортогональную матрицу Т, такую, что В = Т~1АТ, для следующих матриц А:

8.28. Для следующих матриц построить каноническое разложение с унитарной трансформирующей матрицей:

8.29. Убедиться в положительной определенности матрицы и найти квадратный корень из нее:

8.30. Убедиться в том, что матрица является нормальной и построить для нее каноническое разложение с унитарной трансформирующей матрицей:

  • 8.31. Построить Q-R-разложения для матриц из упражнений 8.22 и 8.24.
  • 8.32. Решить систему Ах = Ъ с матрицей А, заданной ее QR- разложением, и столбцом Ъ свободных членов:

8.33. Построить сингулярное разложение матриц:

Указание. Одно из ненулевых характеристических чисел матриц А* А следует искать среди чисел 36, 144, 324.

8.34. Построить полярные разложения следующих матриц:

  • 8.35. Построить скелетные разложения для матриц из упражнения 8.33.
  • 8.36. Используя скелетные разложения, построить псевдообрат- ные матрицы для следующих матриц:

8.37. Используя сингулярные разложения, построить псевдооб- ратные матрицы для матриц из упражнения 8.33 и следующих матриц:

Упражнения

8.38. Методом наименьших квадратов решить системы линейных уравнений:

  • 8.39. Для систем из предыдущего упражнения найти нормальные решения, решая соответствующие одну или две системы с невырожденными матрицами.
  • 8.40. Для систем из упражнения 8.38 найти общие и нормальные псевдорешения, решая эти системы в матричном виде с применением псевдообратных матриц (см. п. 8.21).
  • 8.41. Найти общее и нормальное псевдорешения системы Ах = Ъ и их проекции х^к к = 1,..., г, на подпространства правых сингулярных векторов, если матрица А задана сингулярным разложением:

8.42. Методом регуляризации найти нормальные решения систем из упражнения 8.38 и следующих систем линейных уравнений:

8.43. Пользуясь нормой ЦЛЦоо, найти число обусловленности К а матриц:

8.44. Оценить возможное изменение решений систем при изменении е и ? в пределах 0 ^ ^ 0,01, 0 ^ ? ^ 0,03:

8.45. В эмпирической формуле b = Ха + Ж2&2 + %заз найти коэффициенты Х, Х2, Хз по результатам наблюдений:

8.46. В эмпирической формуле p(t) = xq + x±t + X2t2 найти коэффициенты xi, Х2, хз по результатам наблюдений:

8.47. Найти многочлен второй степени p(t) = Xq + X + Х2t2, приближающий с наименьшей квадратичной погрешностью функцию /(?), заданную таблицей:

8.48. Найти многочлен третьей степени p(t) = xo+xit+X2t2+хзЬг, приближающий с наименьшей квадратичной погрешностью функцию f{t), заданную таблицей:

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы