Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Распадающиеся квадратичные формы

Квадратичную форму называют распадающейся, если она может быть представлена в виде произведения двух линейных множителей. Например, квадратичная форма f(x ,х2) = х — х2 распадающаяся, так как она представима в виде

Теорема 9.3. Действительная квадратичная форма от п переменных распадается тогда и только тогда, когда либо ее ранг равен единице, либо ранг равен двум, а сигнатура равна нулю.

> Пусть квадратичная форма / распадающаяся, т.е. представима в виде

Если в линейных множителях этого разложения все коэффициенты пропорциональны, то

и квадратичная форма / оказывается представленной в виде Предположим для определенности, что ai ф 0. Тогда, полагая

получим невырожденное линейное преобразование переменных, в результате которого квадратичная форма приводится к виду f{yi,y2, ???, Уп) = ку. Это означает, что ранг квадратичной формы / равен единице.

Если в линейных множителях разложения (9.19) коэффициенты не являются пропорциональными, например ф то уравнения

определяют невырожденное линейное преобразование переменных, в результате которого квадратичная форма / приводится к виду f(yi,

У2, •••, Уn) = уi У2- С помощью дополнительного невырожденного преобразования переменных

квадратичная форма приводится к каноническому виду

из которого заключаем, что квадратичная форма / имеет ранг 2 и сигнатуру 0.

Докажем обратное утверждение теоремы. Если ранг квадратичной формы равен единице, то невырожденным преобразованием переменных

она приводится к каноническому виду f(yi,y2,---,yn) = «и у- Здесь легко выделить линейные множители йц у и у, которые в исходных переменных дают следующее представление:

Следовательно, квадратичная форма / распадающаяся.

Пусть квадратичная форма / имеет ранг 2 и сигнатуру 0. В этом случае невырожденным преобразованием переменных вида (9.20) она приводится к каноническому виду f(yi, У2-, ????, Уп) = //i у? Учитывая тождество

получаем следующее представление квадратичной формы в исходных переменных:

Отсюда следует, что квадратичная форма распадающаяся. ?

При мер 9.3. Квадратичные формы приводятся соответственно к виду

Значит, эти формы распадающиеся, причем у первой из них ранг равен единице, а у второй ранг равен двум, сигнатура — нулю. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы