Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод итераций

При большом числе неизвестных в системе линейных уравнений применение метода Гаусса и других методов, дающих точное решение, становится весьма затруднительным. В таких случаях для решения системы могут оказаться более удобными приближенные методы. Рассмотрим метод итераций (метод последовательных приближений) . Решение системы при этом методе получается как предел последовательности приближенных решений, которые находятся с помощью некоторого единообразного процесса, называемого процессом итераций.

Принцип построения итерационного процесса состоит в следующем. Пусть дана квадратная система

с невырожденной матрицей А п-го порядка. Представим эту систему в виде

где х = (#1, Х2п)Т, с = (ci, С2,..., сп)т, В — квадратная матрица порядка п. К такому виду системы можно прийти, например, если в системе (10.1) первое уравнение разрешить относительно Х, второе — относительно х2 и т.д.

Систему (10.2) называют приведенной и решают методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимают какой-либо вектор

На практике часто за нулевое приближение берут столбец с свободных

членов системы (10.2). Подставив ж^ вместо х в правую часть систе-

т

мы (10.2), получают первое приближение х^ = ^ж^ж^,..., ж!1^ . С ним поступают аналогично и т.д., т.е. действуют по правилу

В результате получают последовательность приближенных решений Если эта последовательность имеет предел

то этот предел является решением системы (10.2), а следовательно, и системы (10.1). Процесс итераций быстро сходится, если диагональные коэффициенты ац, «22, •••, апп исходной системы значительно преобладают по абсолютной величине над остальными ее коэффициентами, или, что то же самое, коэффициенты bjj системы (10.2) достаточно малы по абсолютной величине.

Более точно этот факт формулируется следующим образом (см. [Ю, 14, 15]).

Теорема 10.1. Процесс итераций для системы линейных уравнений (10.2) сходится к единственному ее решению, если какая-либо норма матрицы этой системы меньше единицы, в частности, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

где тахвтв — наибольшее характеристическое число матрицы ВТВ.

Погрешность приближений в общем случае можно оценить по формуле (см. [10, 37])

или по формуле если за нулевое приближение выбран вектор х^ = с.

Из формулы (10.6) можно найти номер к нужной итерации, который обеспечит необходимую точность приближенного решения. На практике процесс итераций обычно приостанавливают, когда во всех координатах приближенных решений стабилизируется нужное число десятичных знаков после запятой.

Пример 10.1. Методом итераций решить систему

Решение. Разрешив первое уравнение относительно ад, второе — относительно ад, третье — относительно ад, придем к системе

Матрица этой системы имеет вид:

Ее норма

Поэтому процесс итераций для системы (10.7) будет сходящимся. За нулевое приближение примем

Подставляя эти значения соответственно вместо ад, ад, хз в правые части уравнений системы (10.7), получим:

С полученным приближением поступим аналогично и т.д.

Результаты вычислений, округленные до трех десятичных знаков после запятой, приведены в табл. 10.1.

Таблица 10.1

к

до

ДО

х2

ДО

хз

0

1

1,2

0,8

1

0,68

0,94

0,58

2

0,754

1,016

0,638

3

0,733

0,997

0,623

4

0,738

1,002

0,627

5

0,737

1,001

0,626

С

0,737

1,001

0,626

Процесс остановлен, так как в значениях каждой неизвестной Xi, Х2, Хз стабилизировалось по три десятичных знака после запятой. Таким образом, можно принять

Оценим погрешность пятого приближения. По формуле (10.6), вычислив ||В||i = 0,3, ||с|| 1 = 1 + 1, 2 + 0,8 = 3, получим

Это означает, что в пятом приближении каждая неизвестная имеет не менее чем по два верных десятичных знака после запятой. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы