Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Приведение линейной системы к виду, удобному для итераций

Если в исходной системе Ах = Ь хотя бы некоторые диагональные коэффициенты не преобладают по абсолютной величине над остальными коэффициентами, то, комбинируя уравнения этой системы, стараются заменить ее эквивалентной системой, в которой все диагональные коэффициенты уже будут обладать нужным свойством. Так, в системе

не все диагональные элементы преобладают по абсолютной величине над остальными. Чтобы исправить положение, сложим первое и второе уравнения и результат запишем первым уравнением; из второго уравнения вычтем третье и результат запишем вторым уравнением; третье уравнение оставим без изменения. В результате получим систему

в которой уже все диагональные коэффициенты доминируют по абсолютной величине над остальными. От этой системы обычным путем приходим к системе

уже удобной для итераций.

Такой подход при больших размерах системы не всегда легко приводит к цели. Поэтому на практике обычно идут другими путями. Например, в случае системы Ах = Ъ с симметричной положительно определенной матрицей А сначала от системы А х = Ъ переходят к эквивалентной ей системе т А х = т Ь, затем полагают т А = Е — Е + т А и переходят к системе

Остается подобрать множитель т так, чтобы какая-либо норма матрицы В = Е — т А была меньше единицы. Если положить (см. [36])

где Ai и А2 — наибольшее и наименьшее характеристические числа матрицы А, то спектральная норма матрицы В = Е — т А системы

(10.9), т.е. ||В|| = JтахАвТв, равная

будет меньше единицы. Этого достаточно для сходимости процесса итераций, применяемого к системе (10.9).

В силу трудоемкости вычисления характеристических чисел матрицы А вместо формулы (10.10) на практике обычно пользуются формулой

где за а берут число, большее любой из легко вычисляемых норм, например, норм

В общем случае, когда невырожденная матрица А системы А х = = 6 не является симметричной положительно определенной и в ней не все диагональные элементы преобладают по абсолютной величине над остальными элементами, сначала от системы Ах = Ь переходят к системе А1 Ах = А1 Ъ, имеющей симметричную положительно определенную матрицу Ат А. К этой системе можно применить описанный выше метод приведения системы к виду, удобному для применения метода итераций.

Пример 10.3. Привести систему

к виду, удобному для решения методом итераций.

Решение. В данной системе не все диагональные коэффициенты преобладают по абсолютной величине над остальными, но матрица системы симметричная положительно определенная. Поэтому преобразуем систему, используя формулу (10.9). Для матрицы системы

найдем ее характеристические числа Ai = 7, Л2 = A3 = 1. По формуле (10.10) определяем

а по формуле (10.9) составляем систему х = — | А) х + 6, эквивалентную данной. В подробной записи эта система имеет вид

В силу (10.11) спектральная норма матрицы В этой системы будет равна

Поэтому процесс итераций, примененный к этой системе, будет сходящимся. Если бы не были известны характеристические числа матрицы А, то можно было бы легко подсчитать нормы

и для определения т воспользоваться формулой (10.12), полагая в ней а, например, равным 10. Тогда получили бы т = 1/5 и пришли бы к системе

т.е. к системе

также удобной для решения методом итерации, так как

(при подсчете спектральной нормы мы опирались на то, что спектральная норма симметричной матрицы равна наибольшему из модулей ее собственных значений). ?

Пример 10.4. Привести систему

к виду, удобному для решения методом итераций. Решение. Матрица

системы не является симметричной положительно определенной и в ней не все диагональные элементы преобладают по абсолютной величине. Поэтому перейдем к эквивалентной системе АтАх = АТЬ, т.е. к системе

В симметричной матрице В модифицированной системы все диагональные элементы преобладают по абсолютной величине. Поэтому можно не прибегать к общему приему подбора параметра т. Первое уравнение системы разрешим относительно х, второе — относительно .Т2, третье — относительно .Т3. В результате придем к системе, удобной для решении методом итераций:

Для использования общего приема следует вычислить какую-либо норму матрицы В = А1 А, например

Далее, положив а = 100 > ||B||i, найти

и, используя найденный параметр, перейти к системе х = (Е — тВ)х + т Ь, в координатной форме имеющей вид:

Эту систему можно решать методом итераций. ?

Обобщением только что описанного подхода является следующий прием (см. [14, 24]). Сначала от системы Ах = Ь с произвольной невырожденной матрицей, как и выше, переходят к системе т Ах = тЬ, а затем полагают тА = В — В + тА и переходят к системе

Полученную систему решают методом последовательных приближений в соответствии с формулой

При этом т выбирают так, чтобы процесс (10.14) итераций был сходящимся.

В случае В = Е получается метод простой итерации (см. разд. 10.1). Выбирая В ^ Е и подходящий параметр т, приходят к различным модификациям метода итераций. Выбрав в качестве В какую- либо легко обратимую матрицу, получают общий неявный метод простой итерации. При

получают модифицированный метод простой итерации. При В = D+ +т L и таком выборе т, что наибольшее по модулю собственное значение матрицы Е — т (D + т L)-1 А становится минимальным, приходим к методу верхней релаксации (см. [10, 14, 24, 32]).

Упражнения

10.1. Методом итерации решить системы линейных уравнений:

  • 10.2. Методом Зейделя решить системы линейных уравнений из предыдущего упражнения.
  • 10.3. Привести системы линейных уравнений к виду, удобному для проведения метода итераций:
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы