Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Плоскости в аффинном пространстве

Пусть в п- мерном аффинном пространстве А, связанном с линейным пространством X, дана точка Мо, а в линейном пространстве X к-мерное подпространство L. Множество точек в А, для которых вектор MqM принадлежит L. т.е. множество, описываемое уравнением

где г = ОМ, го = ОМо, называют к-мерной плоскостью, проходящей через точку Mq в направлении подпространства L. Точку Mq называют начальной точкой плоскости, точку М — текущей точкой плоскости, подпространство L — направляющим подпространством плоскости.

Всякая /с-мерная плоскость в аффинном пространстве А сама является аффинным пространством размерности к.

Уравнение (12.3) показывает, что рассматриваемая плоскость получается параллельным переносом подпространства L на вектор го- Очевидно, что нульмерная плоскость состоит лишь из одной точки Мо. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рассматривать как нульмерную плоскость. Само аффинное пространство является n-мерной плоскостью. Одномерную плоскость обычно называют прямой, (п — 1)-мерную плоскость — гиперплоскостью.

В определение плоскости введена ее начальная точка. В действительности все точки плоскости равноправны, так как в качестве начальной точки плоскости можно взять любую точку этой плоскости. Из этого следует, что две плоскости, имеющие одну общую точку и одно и то лее направляющее подпространство, совпадают.

Пусть в аффинном пространстве А выбрана система координат (О, е), где О 6 А, е = (ei, ег,..., еп) — базис линейного пространства свободных векторов, и дана ^-мерная плоскость г = L + го, проходящая через точку Mq(x,X2, ...,х^)е параллельно подпространству L = (oi,а2,а/е) (векторы ах, а2, ак линейно независимые, так как подпространство L к-мерное). Тогда рассматриваемую плоскость можно записать в виде

где ti, t2, ..., tk — параметры, принимающие произвольные числовые значения из поля Р независимо друг от друга.

Уравнение (12.4) называют параметрическим уравнением рассматриваемой плоскости в векторной форме.

Пусть в выбранной системе координат

Тогда, переходя от векторного равенства (12.4) к покоординатным равенствам, получим систему уравнений

Систему (12.5) называют параметрическими уравнениями к-мерной плоскости, проходящей через точку Mq в направлении подпространства L.

В частном случае k = 1 ^-мерная плоскость есть прямая. При этом подпространство L порождается одним вектором а с координатами (ах, а2,..., ап)Т, а параметрические уравнения прямой имеют следующий вид:

При t > to на прямой (12.6) выделяется луч, а при t < t < t2 — отрезок.

От параметрических уравнений прямой (12.6) легко перейти к ее каноническим уравнениям

Исключив из параметрических уравнений (12.5) к-мерной плоскости все параметры, получим ее общие уравнения

В частности, гиперплоскость, соответствующая случаю к = п — 1, задается одним уравнением

В системе уравнений (12.8) каждое отдельное уравнение можно рассматривать как уравнение гиперплоскости, а всю систему уравнений — как определение к- мерной плоскости пересечением к гиперплоскостей. Это наглядно иллюстрируется на примере прямых в трехмерном пространстве, так как любая такая прямая может рассматриваться как пересечение двух плоскостей.

Получив уравнения прямых и плоскостей в аффинном пространстве, можно решать все вопросы аналитической геометрии относительно прямых и плоскостей в этом пространстве, т.е. вопросы относительно прямых и плоскостей, не связанные с измерением длин и углов. В частности, здесь можно развить теорию выпуклых множеств и выпуклых многогранников, нужную для линейного программирования.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы