Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве

Пусть в прямоугольной системе координат евклидова пространства Е гиперповерхность второго порядка (квадрика) задана уравнением

где коэффициенты аг;1 квадратичной формы квадрики удовлетворяют условию аг/ = aji для всех пар индексов.

Как и в аналитической геометрии, имеющей дело с линиями и поверхностями второго порядка, в точечно-векторном евклидовом пространстве обычно изучают вопросы упрощения уравнений квадрик, главные направления, метрические инварианты и метрическую классификацию квадрик (см. [2, 4, 28]). Мы остановимся лишь на упрощении уравнений квадрик и на их метрической классификации. При этом все будем делать так же, как это делалось для квадрик в аффинном пространстве, с той лишь разницей, что каждый раз будем пользоваться прямоугольными системами координат.

Известно (см. разд. 9.8), что существует ортогональное преобразование переменных

приводящее квадратичную форму квадрики к каноническому виду

Преобразования переменных (12.24) будем рассматривать как преобразования прямоугольных координат в евклидовом пространстве. Подставляя выражения для Xi из (12.24) в левую часть уравнения (12.23), приведем это уравнение к виду

Если А* ф 0, то выделением полного квадрата по переменной yi и переносом начала координат можно уничтожить в уравнении (12.25) член с первой степенью этой переменной. Действительно, в этом случае сумму A* yf 4- 2 Ci yi можно представить в виде

Полагая Xi у г + с* / А*, Xj — yj при j ф г, получим, что и в уравнении (12.25) коэффициент при X? останется равным Ai, член с первой степенью X исчезнет и изменится свободный член. Проделав так со всеми переменными в уравнении (12.25), приведем это уравнение к виду

где г — натуральное число, не превышающее п.

Рассмотрим возможные случаи относительно коэффициентов а'- в уравнении (12.26).

Если все a'j = 0, то имеем приведенное уравнение квадрики пер- вого рода

Если среди коэффициентов а' в уравнении (12.26) есть ненулевые, то, полагая

уравнение (12.26) приведем к виду где у = jKi + ... + <2.

Уравнение (12.29) называют приведенным уравнением квадрики второго рода.

В формулах (12.28) преобразования прямоугольных координат коэффициенты 7^-, г = г+ 2, г + 3, ..., п, j = 1, 2, ..., п, выбирают так, чтобы матрица этого преобразования координат была ортогональной. Это равносильно дополнению ортонормированной системы п-мерных векторов-строк

где р = уо/г2+1 4- ... + а'?, до ортонормированного базиса в пространстве n-мерных векторов-строк.

Уравнения (12.27) и (12.29) определяют следующие метрические классы квадрик в n-мерном евклидовом пространстве:

1) если в уравнении (12.27) г = п и все коэффициенты Ai,

п одного знака, а коэффициент b противоположного им знака, то уравнение определяет эллипсоид;

  • 2) если в уравнении (12.27) г = п и все коэффициенты Ai, ..., Ап, b одного знака, то уравнение определяет мнимый эллипсоид;
  • 3) если в уравнении (12.27) г = п, b ^ 0, а коэффициенты Ai, ..., Ап имеют разные знаки, то уравнение определяет гиперболоид;
  • 4) уравнение (12.27) при b = 0 определяет конус с точечной вершиной при г = п и с (п — г)-вершиной при г < п (мнимый конус, если Ai, ..., Ап имеют одинаковые знаки, и действительный конус в противном случае);
  • 5) при г = п — 1 уравнение (12.29) определяет параболоид;
  • 6) при г < п уравнение (12.27) определяет эллиптический или гиперболический цилиндр в зависимости от знаков коэффициентов Ах, ..., Ап;
  • 7) при г < п — 1 уравнение (12.29) определяет параболический цилиндр.

Более подробная классификация квадрик в евклидовом пространстве приведена в [22]. Из полученных результатов непосредственно вытекает метрическая классификация линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка в пространстве. Приведем эти классификации.

Метрическая классификация линий второго порядка на плоскости

мых;

Метрическая классификация поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве

Пример 12.4. В четырехмерном евклидовом пространстве в прямоугольной системе координат квадрика задана уравнением

Преобразованием прямоугольных координат упростить уравнение квадрики, указать преобразование координат, осуществляющее такое упрощение уравнения квадрики, и установить ее метрический класс.

Решение. Сначала приведем квадратичную форму

к каноническому виду в главных осях. Матрицей этой квадратичной формы является

Ее характеристический многочлен А — Е = Л (Л — 9)3 имеет корни Л1 = Л2 = A3 = 9, Л4 = 0. Для каждого собственного значения Ai построим фундаментальную систему решений однородной системы уравнений — А* Е) х = 0 и ортонормируем их.

При i = 9 система | А — А; Е х = 0 имеет вид:

Ес общее решение х = (xi,X2,X3, 2x2 + 2хз)т имеет три свободных неизвестных, а ФСР состоит из трех векторов, например, &i = = (1,0,0,0)т, Ь‘2 = (0,1,2, 2)т, Ъ3 = (0, 2,1, —2)т. Так как векторы Ъ, &2, Ъз оказались попарно ортогональными, то остается лишь их нормировать. После нормирования получим векторы

При Л* = 0 система. | А — А* Е х = О имеет вид:

Ее общее решение х = (О, 2.Т4, —2x4, хА)т имеет одно свободное неизвестное, а ФСР состоит из одного решения, например, 64 = (0, 2, —2, 1)т. Нормируя его, получаем вектор е'А = | (0, 2, —2,1)т.

Из столбцов координат векторов е, е’2. е'3, е составим матрицу

и по ней запишем преобразование координат:

При этом преобразовании координат рассматриваемая квадратичная форма приводится к каноническому виду 9 у + 9 у + 9 у, а уравнение квадрики — к виду

или

В полученном уравнении квадрики выделим полные квадраты по переменным ух, у2, уз. Уравнение квадрики при этом примет вид:

Теперь введем новые переменные z = у + 1, 22 = У2 ~ 1, =

= уз 4- 1, 24 — у4, соответствующие преобразованию переменных у = = z 1, у2 = Z2 + 1, ?уз = Z3 — 1, т/4 = 24. Тогда уравнение квадрики преобразуется в уравнение

Далее введем новые переменные Х = z, У 2 = 22, Х3 = 23, Х4 ~^5~90 = 24 — 2, соответствующие преобразованию переменных 2i = Х, 22 = Х2, 2з = Уз, 24 = У4 + 2. В новых координатах рассматриваемая квадрика имеет уравнение

или

Из канонического вида квадрики следует, что она является эллиптическим параболоидом.

Результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

Новая система координат (0',е') имеет начало 0'( — 1,1, —1, 2) и базис из векторов

При мер 12.5. В двумерном евклидовом пространстве преобразованием прямоугольных координат упростить уравнение квадрики

указать преобразование прямоугольных координат, осуществляющее такое упрощение уравнения квадрики, и установить ее метрический класс.

Решение. Квадратичная форма х + х Х2 + х2 имеет матрицу

Ее характеристический многочлен

имеет корни Х = 3/2 и Л2 = 1/2. Поэтому рассматриваемая квадратичная форма в главных осях имеет канонический вид

Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к каноническому виду в главных осях. Для этого необходимо найти фундаментальные системы решений однородных систем уравнений (Л — Ai Е) х = 0 и ортонормировать их.

При А, = 3/2 система (Л — А* Е) х = 0 имеет вид:

Ее общим решением является х = 2, жг)т, а фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, Ь = (1,1)т. Нормируя его, получим вектор е[ = -^= (1,1)т.

При Ai = 1/2 аналогичным образом построим вектор е2 — -^= (—1, 1)т. Векторы е[ и е'2 уже ортогональны, так как принадлежат различным собственным значениям. Они составляют канонический ор- тонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строим ортогональную матрицу

По строкам этой матрицы записываем искомое ортогональное преобразование переменных:

Используя это преобразование переменных, преобразуем уравнение квадрики в уравнение

Для удобства умножим это уравнение на 2:

Выделим в нем полные квадраты по у и г/2- Тогда получим

Вводя переменные

соответствующие преобразованию переменных

уравнение квадрики приведем к виду 3 Xf + Х — 12 = 0, откуда получаем канонический вид

Следовательно, рассматриваемая квадрика на плоскости является эллипсом. Результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

Новая прямоугольная система координат (О^е^е^) имеет начало О'(0; 3) и координатные векторы

Пример 12.6. В трехмерном пространстве преобразованием прямоугольных координат упростить уравнение квадрики

Решение. Сначала приведем к главным осям квадратичную форму

Матрицей этой квадратичной формы является

Ее характеристический многочлен

имеет корни Х = 6, Л2 = Лз = 0. Для каждого собственного значения Хг построим фундаментальную систему решений системы уравнений (А — Xi Е) х = 0, а затем все эти ФСР ортонормируем.

При Л1 = 6 система (А — Xi Е) х — 0 имеет вид:

Ес общее решение х = (ад, — х, 2xi)T имеет одно свободное неизвестное, а ФСР состоит из одного вектора, например, &i = (1,-1,2)т. Нормируя его, получим е!х = 4= (1, —1,2)т.

При Лг = 0 система — А 2 Е) х = 0 имеет вид:

Ее общее решение х = 2 — 2 хд, хд, хд)т имеет два свободных неизвестных, а фундаментальная система решений состоит из двух векторов, например, 62 = (1,1,0)т и 63 = (—1,1,1)т. Так как 62 и 63 уже ортогональны, то остается их лишь нормировать. После нормирования получим

Из столбцов координат векторов е[, е'2, е'3 составим матрицу

и по ней запишем преобразование прямоугольных координат

При этом преобразовании координат рассматриваемая квадратичная форма приводится к каноническому виду 6 у, а все уравнение квадрики приводится к виду

что эквивалентно уравнению

В этом уравнении квадрики выделим полный квадрат по у. Уравнение квадрики при этом примет вид:

Далее введем переменные z = у — /б, Z2 = У2, %з = Уз, соответствующие преобразованию переменных у = z + /б, у2 = Z2, уз = Z3. Тогда уравнение квадрики преобразуется к виду z — 6 /2 Z2 + 4 /3 Z3 4 = О, или

Введем переменные в соответствии с формулами

Коэффициенты 71, 72, 73 выберем так, чтобы матрица рассматриваемого преобразования переменных была ортогональной, т.е. чтобы векторы-строки

составляли ортонормированную систему векторов. Так как система векторов 04, о2 ортонормированная, то координаты вектора о3 следует искать из условий

Затем найденный вектор 03 нужно еще нормировать. Проделав это, получим: 71 = 0, 72 = ^=, 7з = ^=Итак, новые переменные выражаются через старые формулами а преобразование переменных имеет вид:

В новых координатах рассматриваемая квадрика имеет каноническое уравнение Х = 2 /30 Х-2- Оно показывает, что эта квадрика представляет собой параболический цилиндр.

Упражнения

12.1. Привести к нормальному виду уравнение квадрики, установить ее вид, выписать формулы преобразования координат, координаты нового начала и новых координатных векторов относительно старой системы координат:

12.2. Преобразованием прямоугольных координат привести к каноническому виду уравнение квадрики, записать преобразование координат, координаты нового начала и новых координатных векторов относительно старой системы координат:

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы