Прямые и косвенные доказательство

В зависимости от выбора основания деления можно выделить несколько видов доказательств. Чаще всего различают прямые и косвенные доказательства. В прямых доказательствах тезис непосредственно выводится из данных посылок. Косвенные, или непрямые, доказательства применяются тогда, когда по разным причинам дедуктивные правила для доказательства тезиса прямо использовать нельзя. Поэтому для этого обычно обращаются к доказательству противоречащего тезису утверждения, называемого антитезисом. Если антитезис окажется ложным, тогда по закону исключенного третьего косвенно заключают об истинности тезиса. Такой способ непрямого доказательства античные логики называли апогогическим, поскольку при этом происходит отклонение или отход от непосредственного доказательства путем обсуждения имеющихся аргументов. В математике, где подобные доказательства встречаются наиболее часто, они называются доказательствами от противного, поскольку для этого приходится доказывать допущение, противоречащее теореме. Например, в элементарной геометрии, чтобы доказать, что перпендикуляр к данной прямой короче любой наклонной, временно принимают противоположное допущение, а затем приходят к заключению, что оно противоречит ранее доказанным теоремам.

Общая структура доказательств, основанных на применении закона исключенного третьего, может быть выражена следующей формулой.

В посылке косвенного доказательства фигурирует антитезис -1 А, из которого выводится ложное заключение В, -> В. Из него с помощью закона исключенного третьего доказывается истинность тезиса А:

Иногда косвенное доказательство принимает форму редукции, или сведения к абсурду, демонстрирующее противоречивость его исходных посылок.

Окольный путь косвенного доказательства нередко рассматривается как менее обоснованный, чем прямой, и поэтому считается менее убедительным и ценным. По-видимому, именно это обстоятельство имел в виду немецкий философ А. Шопенгауэр (1788— 1860), когда сравнивал некоторые математические доказательства, вроде теоремы Пифагора (6 в. до н.э.), с мышеловками.

Несмотря на достаточное распространение косвенных доказательств, при их применении следует соблюдать определенную осторожность. Как показала современная конструктивная математика, закон исключенного третьего неприменим к потенциальной, или становящейся, бесконечности, какой является, например, бесконечно возрастающий натуральный ряд чисел. Поэтому утверждение о том, что в этом ряду мы не обнаружили числа с определенными свойствами, вовсе не доказывает, что такого числа там не существует, поскольку ряд является бесконечным и непосредственно проверить все его члены мы не в состоянии. В сущности, все косвенные доказательства основываются, как мы видели, на использовании закона исключенного третьего, а он применим лишь к конечным множествам объектов.

К числу доказательств, основанных на применении закона исключенного третьего, относятся также доказательства существования математических объектов, в которых, однако, эти объекты фактически не строятся или не вычисляются. Их существование обосновывается тем, что такое допущение является непротиворечивым. В отличие от них в конструктивных доказательствах существование объектов подтверждается фактом их построения или вычисления.

Особый случай косвенного доказательства представляет собой доказательство, основанное на разделительно-категорическом силлогизме. В нем высказывания, например гипотезы, представляют собой исключающую дизъюнкцию. Чтобы установить, какое из выоказываний (гипотез) будет здесь истинным, необходимо исключить все остальные, т.е. установить их ложность. Тогда одноединственное оставшееся высказывание будет истинным.

Такой способ последовательного исключения, например, лиц, на которых падает подозрение, является обычным при проведении юридического расследования. Очевидно, однако, что предположение о виновности последнего подозреваемого должно быть доказано самостоятельно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >