Система отсчета. Скалярные и векторные величины. Некоторые операции над векторами

Определим, что нужно знать для описания движения предметов в кинематике. Прежде всего любое измерение производится относительно какого-то тела отсчета, т.е. начинается с задания положения точки в пространстве. Телом отсчета называется произвольно выбранное абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и системы пространственных координат, жестко связанной с телом отсчета и снабженной часами.

Рис. 2.1. Положение точки в декартовой системе координат

Геометрический вектор а — направленный отрезок в пространстве. Длина вектора а называется его модулем и обозначается а = а.

Наиболее часто употребляется декартова система координат, ортонор- мированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами i, j, к, проведенными из начала координат (рис. 2.1). Положение произвольной точки М характеризуется радиус-вектором г, соединяющим начало координат О с точкой М:

где x = г cosa , у = /*cos(3 , z ⁼ г cosy . Величины х, у, z называются прямоугольными декартовыми координатами вектора г.

Кроме того, в механике используются сферическая и цилиндрическая системы координат, а также другие криволинейные системы координат.

Скалярные величины характеризуются только численным значением (время, температура и т.д).

Приведем некоторые операции с векторами.

1. Сложение векторов. Сложением веткторов а и Ь называется такой вектор с , что a + b—с, при этом а +1?| > |с|.

Рассмотрим аналитический метод сложения векторов, например скорости 0,-, / = 1,2 (рис. 2.2). Как известно, векторы, лежащие в плоскости, можно разложить на составляющие (компоненты). Поэтому в прямоугольной декартовой системе координат в плоскости каждый вектор можно однозначно представить в виде

Рис. 2.2. Представление вектора и, в декартовой системе координат

где v_jx = v_ix i ; v_iy = v_jy j ; проекции на оси X и Y определяются соответственно как v_jx — v_t;Cos(p,

Vj = it sin cp ; угол ф — угол, который составляет вектор п, с осью X. При 1-1 П-Т ^viy

ЭТОМ |ц₍.| = Vi =^V_ix+ v_iy , 1§ф = — .

^uix

Тогда при сложении векторов скорости получаем

Аналогично определяется сложение векторов в случае трехмерного пространства.

2. Скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов а и Ь — это число

где а — угол между векторами а и Ь. Скалярное произведение обозначается также символами ab , а b .

3. Векторное произведение. Векторным произведением векторов a wb называется вектор с, имеющий длину, равную произведению длин этих

Рис. 2.3. Направление вектора с = а,Ь]

векторов на синус угла между ними, с = я/>5тф, и направленный перпендикулярно к а и Ь, как показано на рис. 2.3, в соответствии с правилом правой руки: правую руку направляют вдоль первоначального вектора а таким образом, чтобы, сгибая пальцы, можно было направить их вдоль вектора Ь. Большой палец правой руки будет показывать направление вектора с.

Обозначение: с =а,Ь] = а*Ь . В декартовой системе координат

Отметим, что если модуль и направление вектора а зависят от некоторого параметра t, то такой вектор а называют векторной функцией переменной t и записывают в виде а = a(t) или через проекции

Если проекции векторной функции b — b(x,y,z) представляют собой частные производные от некоторой функции и, зависящей от х, у и z-

то b записывается в виде

и называется градиентом и. Использованный здесь дифференциальный

_ д - д - д

оператор набла V записывается как V = / — + j — + k— в декартовых ко-

дх ду dz

ординатах. ⁷