Система отсчета. Скалярные и векторные величины. Некоторые операции над векторами
Определим, что нужно знать для описания движения предметов в кинематике. Прежде всего любое измерение производится относительно какого-то тела отсчета, т.е. начинается с задания положения точки в пространстве. Телом отсчета называется произвольно выбранное абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение остальных тел.
Система отсчета — совокупность тела отсчета и системы пространственных координат, жестко связанной с телом отсчета и снабженной часами.

Рис. 2.1. Положение точки в декартовой системе координат
Геометрический вектор а — направленный отрезок в пространстве. Длина вектора а называется его модулем и обозначается а = а.
Наиболее часто употребляется декартова система координат, ортонор- мированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами i, j, к, проведенными из начала координат (рис. 2.1). Положение произвольной точки М характеризуется радиус-вектором г, соединяющим начало координат О с точкой М:
где x = г cosa , у = /*cos(3 , z = г cosy . Величины х, у, z называются прямоугольными декартовыми координатами вектора г.
Кроме того, в механике используются сферическая и цилиндрическая системы координат, а также другие криволинейные системы координат.
Скалярные величины характеризуются только численным значением (время, температура и т.д).
Приведем некоторые операции с векторами.
1. Сложение векторов. Сложением веткторов а и Ь называется такой вектор с , что a + b—с, при этом а +1?| > |с|.
Рассмотрим аналитический метод сложения векторов, например скорости 0,-, / = 1,2 (рис. 2.2). Как известно, векторы, лежащие в плоскости, можно разложить на составляющие (компоненты). Поэтому в прямоугольной декартовой системе координат в плоскости каждый вектор можно однозначно представить в виде

Рис. 2.2. Представление вектора и, в декартовой системе координат
где vjx = vix i ; viy = vjy j ; проекции на оси X и Y определяются соответственно как vjx — vt;Cos(p,
Vj = it sin cp ; угол ф — угол, который составляет вектор п, с осью X. При 1-1 П-Т viy
ЭТОМ |ц(.| = Vi =^Vix+ viy , 1§ф = — .
uix
Тогда при сложении векторов скорости получаем
Аналогично определяется сложение векторов в случае трехмерного пространства.
2. Скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов а и Ь — это число
где а — угол между векторами а и Ь. Скалярное произведение обозначается также символами ab , а b .
3. Векторное произведение. Векторным произведением векторов a wb называется вектор с, имеющий длину, равную произведению длин этих
![Направление вектора с = а,Ь]](/htm/img/33/8141/8.png)
Рис. 2.3. Направление вектора с = а,Ь]
векторов на синус угла между ними, с = я/>5тф, и направленный перпендикулярно к а и Ь, как показано на рис. 2.3, в соответствии с правилом правой руки: правую руку направляют вдоль первоначального вектора а таким образом, чтобы, сгибая пальцы, можно было направить их вдоль вектора Ь. Большой палец правой руки будет показывать направление вектора с.
Обозначение: с =а,Ь] = а*Ь . В декартовой системе координат
Отметим, что если модуль и направление вектора а зависят от некоторого параметра t, то такой вектор а называют векторной функцией переменной t и записывают в виде а = a(t) или через проекции
Если проекции векторной функции b — b(x,y,z) представляют собой частные производные от некоторой функции и, зависящей от х, у и z-
то b записывается в виде
и называется градиентом и. Использованный здесь дифференциальный
_ д - д - д
оператор набла V записывается как V = / — + j — + k— в декартовых ко-
дх ду dz
ординатах. 7