Энергия упругой волны. Поток и плотность потока энергии. Вектор Умова

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией.

Рассмотрим продольную плоскую волну (8.2), которая распространяется в единице объема среды массой, равной р, с колебательной скоростью и = d^/dt , где | — смещение частиц среды. Выделенный объем обладает кинетической энергией. Объемная плотность кинетической энергии среды выражается как

где dVk кинетическая энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким образом, что в его пределах скорость и всюду одинакова; р — плотность среды; и — скорость колебания частиц среды.

Можно доказать, что объемная плотность потенциальной энергии упругодеформированной среды

где dVp — потенциальная энергия однородно деформированного малого участка среды объемом dV v — фазовая скорость волны в среде; с — относительная деформация среды.

Поскольку волна движется, то она осуществляет перенос механической энергии. Под объемной плотностью энергии упругих волн понимают объемную плотность механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн:

Продифференцировав уравнение плоской волны (8.4) один раз по /, другой раз по х и определив таким образом и и с, с учетом того, что k2v2 = о)2, получим плотность энергии, возникающей в упругой среде при распространении в ней плоской продольной волны:

Через площадку среды dS за время dt волной переносится энергия dW

Рис. 8.3. Через площадку среды dS за время dt волной переносится энергия dW

В физике используют понятие потока энергии. Если площадка среды имеет площадь dS, а ее нормаль п составляет с направлением распространения волны (осью X) угол а (рис. 8.3), то поток энергии d<& определяется как отношение количества энергии dV, переносимой волной через эту площадку за малый промежуток времени, к его длительности:

I

где dW — энергия, заключенная внутри площадки с основанием площадью dS и образующей длиной vdt; 03 — объемная плотность энергии волны; v — вектор скорости переноса энергии волной, нормальный к волновой поверхности в данном месте; dS = ndS j = G3u — вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Для гармонической волны v=(cо/к)п .

Вектор Умова (Н.А. Умов, 1874) в разных точках пространства различен, а в данной точке среды изменяется со временем по закону квадрата синуса. Направление j совпадает с направлением распространения энергии, т.е. j ТТ v , а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно распространению волны:

Единица плотности потока энергии в системе СИ — джоуль на квадратный метр-секунду (Дж/(м2, с)).

Когда волна распространяется в трехмерном пространстве, тогда поток энергии через произвольную поверхность S выражается в виде интеграла:

Эффект Доплера для звуковых волн. При движении источника колебаний и приемника (устройства, которое воспринимает звуковые колебания среды) друг относительно друга происходит изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником. Это явление называется эффектом Доплера.

В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона звука при приближении источника звука к приемнику и понижение тона при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник (наблюдатель) движутся вдоль соединяющей их прямой: ии и vu — соответственно скорости источника и приемника (положительны при сближении и отрицательны при удалении источника и приемника); v0 — частота колебаний источника; и — скорость распространения звука в данной среде. Если направления уи и vu не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то берут их проекцию на направление этой прямой.

В общем случае частота воспринимаемых приемником колебаний

Верхние знаки в выражении (8.17) берутся, если при движении источник и приемник сближаются и, следовательно, v> v0 . Нижние знаки в формуле (8.17) берутся, когда они взаимно удаляются; при этом v0 .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >