Проекция вектора скорости на оси координат

В векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета. Положение точки А (рис. 2.8) задается радиус-вектором г. Спроецируем вектор г на оси х, у, г.

Вектор перемещения точки А и её скорость 1)

Рис. 2.8. Вектор перемещения точки А и её скорость 1)

Понятно, что х, у, z зависят от времени /, т. е. x(t), y(t), z(t). Зная зависимость этих координат от времени (закон движения точки), можно найти в каждый момент времени скорость точки.

Проекции вектора скорости и на оси х, у, z в обозначениях Лейбница:

~ -dr

Эти три равенства эквивалентны векторному равенству и = —.

Согласно общей формуле (2.2.2) модуль вектора скорости

Так как скорость - величина векторная, то её можно представить с помощью единичных векторов i, j, k:

Ускорение и его составляющие

В произвольном случае движения скорость не остается постоянной. Быстрота изменения скорости по времени и направлению характеризуется ускорением

Ускорение - величина векторная. При криволинейном движении о изменяется также и по направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Выражение (2.3.8) на эти вопросы не отвечает.

Введем единичный вектор т (рис. 2.9), связанный с точкой А и направленный по касательной к траектории движения точки А (векторы т и и в точке А совпадают). Тогда можно записать:

где и = |и| - модуль вектора скорости.

К выводу тангенциальной составляющей ускорение

Рис. 2.9. К выводу тангенциальной составляющей ускорение: единичный вектор т направлен по касательной к траектории

Найдем ускорение:

Получаем два слагаемых ускорения: ах - тангенциальное ускорение, совпадающее с направлением в в данной точке, ап - нормальное ускорение, или центростремительное, т. к. направлено оно к центру кривизны, перпендикулярно вектору т.

где du/df - скорость изменения модуля вектора скорости и.

Итак, ат показывает изменение вектора скорости по величине:

  • • если dv/dt > 0, то ат направлено в ту же сторону, что и вектор V, т. е. ускоренное движение;
  • • если do/dt<0, то ат направлено в противоположную сторону V, т. е. замедленное движение;
  • • при do/df 0 ат = 0, о = const - движение с постоянной по модулю скоростью.

Рассмотрим подробнее второе слагаемое уравнения (2.3.9):

определяется скоростью движения точки по окружности и степенью искривленности траекторий (рис. 2.9, 2.10).

Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С. Радиус кривизны г - радиус такой окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно малом ее участке dv.

Центры таких окружностей - центры кривизны т. О и О'.

К выводу нормальной составляющей ускорения, показывающей быстроту изменения направления касательной к траектории

Рис. 2.10. К выводу нормальной составляющей ускорения, показывающей быстроту изменения направления касательной к траектории

Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости изменения угла на единичный вектор, показывающий направление изменения угла:

здесь п - единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной (т) в данной точке, т. е. по радиусу к центру кривизны.

За время At материальная точка перемещается вдоль траектории на расстояние ds в пределе (при At —» 0), центры кривизны О и О' сливаются и угол поворота Дер равен элементарному углу dtp, который определяет поворот dx.

Из (2.3.11) следует, что dep = ds/r, но т. к. ds = x>dt, то dep = x>dt/г.

„ dep п d! и, di d2.

Тогда — = —, следовательно — = — n; наконец, к— = — п, т. е.

d t г d t г dt г

Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости. Модуль нормального ускорения

Центростремительным называют ускорение, когда движение происходит по окружности. А когда движение происходит по произвольной кривой, говорят, нормальное ускорение, перпендикулярное к касательной в любой точке траектории.

Итак, возвращаясь к выражению (2.3.9), можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

На рис. 2.11 изображено взаимное расположение векторов ускорения:

Суммарное ускорение, нормальная и тангенциальная составляющие ускорения

Рис. 2.11. Суммарное ускорение, нормальная и тангенциальная составляющие ускорения

Как видно из этого рисунка, модуль общего ускорения равен:

Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:

  • ах = 0; ап = 0 - равномерное прямолинейное движение;
  • ах- const; ап - 0 - равноускоренное прямолинейное движение;
  • ах - 0; ап - const - равномерное движение по окружности.

Прямая задача кинематики сводится к определению кинематических характеристик по известному закону движения.

При движении с постоянным ускорением (а = const)

Если о = i)0 ± at (а = const), то

Обратная задача кинематики заключается в нахождении закона движения по известной скорости (ускорению) и начальному кинематическому состоянию.

Пусть нам известно ускорение точки в каждый момент времени.

По определению имеем a(t)=——,отсюда u(f) - u(f0) + (,

d'

dr '2

т. к. x>(t) = —, следовательно r(t) = r(tQ) + [o(/)dr. d;

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >