Задача планирования производства (распределения ограниченных производственных ресурсов)

Задача 2.1

В механическом цехе производственного участка ЦТ АО учреждения УИС производится два вида комплектующих изделий (деталей): А и Б. Объемы производства продукции зависят в основном от наличия трех видов ограниченных лимитами производственных ресурсов.

Ресурс I - рабочее время: в цехе работает 100 рабочих (осужденных), каждому из которых оплачивается в среднем по 40 часов в неделю. Норма затрат труда на единицу изделия А составляет при этом 22 часа, изделия Б - 50 часов.

Ресурсы II и III: время обработки деталей на токарных и фрезерных станках. В цехе работает 8 токарных и 6 фрезерных станков. Нормативное время работы каждого станка также составляет 40 часов в неделю. Для изготовления единицы изделия А необходимо обработать его на токарном станке, затратив по нормативу 2 часа, и на фрезерном станке, затратив 1,2 часа. При этом также должны соблюдаться нормы затрат времени: для изготовления единицы изделия Б норматив обработки на токарном станке составляет 3 часа, на фрезерном станке - 1,8 часа.

Кроме того, объемы производства изделий А и Б ограничены возможностями хранения готовых изделий на складе. На складе может храниться не более 150 единиц изделий любого вида.

Реализация каждого изделия вида А приносит учреждению доход в размере 2,5 тыс. рублей, а изделия вида Б - 3,4 тыс. рублей.

Необходимо определить оптимальный план производства изделий А и Б, при котором суммарный доход от реализации изделий был бы максимальным.

Математическая формулировка цели и условий задачи. Обозначим переменные. Необходимо определить объемы производства продукции: сколько единиц изделий вида А и Б производить, чтобы получить максимальный доход. Временной период - неделя, так как лимит ресурсов запланирован на неделю. Следовательно, будем иметь всего две основные переменные:

xj - производство изделий вида А, в неделю, единиц;

х2 - производство изделий вида Б, в неделю, единиц.

Очевидно, что чем больше будет производиться продукции, тем больше будет доход предприятия. Но размеры производства продукции ограничивают объемы имеющихся производственных ресурсов.

Основной ресурс - труд. В цехе работает 100 рабочих, каждому из которых оплачивается 40 часов в неделю. Следовательно, в неделю может затрачиваться не более 4 000 человеко-часов труда. На производство продукции вида А будет затрачено в соответствии с нормативами 22хх{ часов, а на производства продукции вида Б - 50хх2 часов. Тогда получим вид первого ограничения:

  • 1) трудовые ресурсы, чел.-час.
  • 22хх +50jc2 < 4000.

Для получения готовой продукции каждое изделие должно быть последовательно обработано на токарном и фрезерном оборудовании. В качестве коэффициентов при переменных х/их2и выступают нормативы затрат времени на обработку изделий. Лимит времени работы токарных станков составляет 320 часов в неделю (8 станков х 40 часов), фрезерных - 240 часов;

  • 2) время обработки на токарных станках, часов:
  • х +3х2 < 320;
  • 3) время обработки на фрезерных станках, часов:
  • 1,2 х х1 + 1,8л;2 < 240.

Размеры производства ограничены также наличием места на складе готовой продукции;

4) емкость склада, единиц хранения:

х{ + *2 < 150.

Кроме того, смысл переменных требует выполнения условия неотрицательности переменных:

X] >0 их2> 0.

Критерий оптимальности задачи - максимум получения дохода от реализации продукции. Продажа единицы изделия вида А приносит предприятию доход 2,5 тыс. рублей, а единицы изделия вида Б - 3,4 тыс. рублей. Тогда суммарный доход составит:

Z = 2,5*! + 3,4х2 —» шах.

Таким образом, необходимо найти план х(*,,*2), который удовлетворял бы условиям:

и доставлял бы максимум функции:

Конечно, число видов продукции на реальном предприятии значительно больше, условия определяются не только объемами производственных ресурсов, но и технологическими условиями, договорными обязательствами. Сделаем обобщение задачи, предположив, что предприятие выпускает п видов продукции и затрачивает при этом т видов производственных ресурсов.

Обобщение задачи 2.1 на п переменных и т ресурсов

Пусть имеется т видов производственных ресурсов, объемы которых bh Ъ2,..Ъь...Ьт ограничены. Это могут быть затраты труда, денежных средств, комплектующих изделий и т. д. Предприятие использует эти ресурсы для производства п видов продукции, объемы которыхX], хп необходимо определить. Известны нормативы

йу - затраты /-го вида производственных ресурсов на единицу размерности у-ГО вида продукции, (/ = ?mj = й)И ДОХОД Cj, который может быть получен от реализации единицы у-го вида продукции. Необходимо определить план производства продукции, при котором суммарный доход был бы максимальным.

Математическая формулировка задачи будет выглядеть следующим образом. Определить план Х(х12,...хп), удовлетворяющий следующим условиям:

Модель задачи (2.4)-(2.5) по своей математической формулировке является задачей линейного программирования. Система ограничений (2.4) имеет неравенства типа ?, целевая функция на максимум.

Задачу можно записать более компактно, используя знаки суммирования.

Найти план Х(х19х2,...хп), при котором

Параметры образующие матрицу размерностью тхп, называются коэффициентами, это нормативы затрат /-го вида ресурсов на единицу размерностиу-го вида продукции.

Свободные члены b( (i = l,m) - это правые части ограничений, выражающие имеющиеся объемы производственных ресурсов /-го вида, bi > 0.

Оценки целевой функции cj обозначают положительный экономический эффект, полученный на единицу размерности у-го вида продукции. Матрица коэффициентов, свободные члены и коэффициенты целевой функции являются заданными, составляют исходную информацию к модели.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >