Однофакторная линейная регрессионная модель

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (*i). Она выражается линейной функцией вида

параметры которой а₀ и fl| можно найти, решив систему нормальных уравнений, которая, в свою очередь, формируется на основе метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая имеет вид:

где суммирование проводится по всем п группам. Используя данные табл. 3.10, получим систему уравнений:

решением которой являются значения я₀ ⁼ 660,03; а = 0,11. Таким образом, модель имеет вид:

Уравнение (3.22) называется уравнением регрессии, а коэффициенты яо ^и <* — коэффициентами регрессии. Направление связи между у и Х определяет знак коэффициента регрессии а, в нашем случае данная связь является прямой. Теснота этой связи определяется парным коэффициентом корреляции

где S_y — средняя квадратическая ошибка выборки показателя у из табл. 3.10:

где у — простая средняя фактических значений у;

— средняя квадратическая ошибка уравнения (3.22) для числа степеней свободы п-2, где у — соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (3.22).

В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам от 1 до п.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере Sj = 454 070, Sj_x> = 63 846. Следовательно,

Полученное значение г^ свидетельствует о том, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Величина гД называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под воздействием факторного признака. В нашем случае гД = 0,859.

Это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменений расходов на питание.

Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это коэффициент а) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-коэффициент.

Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака Х на один процент.

В нашем примере коэффициент регрессии а равен 0,11, а средние арифметические х_х и у равны соответственно 6080,6 и 1313,9.

Поэтому коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода будет равен:

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% расходы на питание увеличатся на 0,51%.

Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой:

где S_x , S_y — средние квадратические ошибки выборки величин Х[ и у из табл. 3.10 соответственно.

Величина S_y уже была рассчитана ранее и равна 454 070, поэтому величина S равна 673,8. Аналогичные расчеты дают значение величины S_X[, равное 4242,0.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения.

В нашем случае получаем следующее значение бета-коэффи- циента:

т.е. увеличение душевого дохода на величину среднеквадратического отклонения данного показателя приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,69 среднеквадратического отклонения этих расходов.