Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Определение предела функции.

Функция /(х) имеет в точке а предел, равный числу b, если для любого положительного числа ? найдется такое положительное число 8, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условиям хФ а , х-а выполняется соотношение | /(х) -Ь

Поясним данное определение. Число 8 характеризует близость значений функции /(х) к пределу Ъ, число 8 - близость значений аргумента х к точке а . Ключевым моментом в определении является то, что число ? > 0 можно задавать сколь угодно малым (например, равным 0,01, 0,001 или любым другим, не обязательно «круглым»). Число 8 > 0 зависит, вообще говоря, от выбора ? , что часто записывается в виде 8 -8(8); как правило, чем меньше заданное значение ?, тем меньшим необходимо выбирать подходящее значение 8. Приближение значений функции /(х) к пределу b понимается как малость отклонения /(х) от b (или, что равносильно, малость модуля их разности | /(х) — Ь |). Это отклонение становится меньшим любого изначально заданного числа ? > 0 (каким бы малым оно ни было выбрано), если только аргумент х находится в достаточной близости к точке а . Мера этой «достаточной близости» определяется числом 8 = 8(8) > 0, условие достаточной близости - выполнение неравенства | х - а < 8.

Замечание 2. Поскольку условие х Ф а равносильно условию | х - а | > 0, то оба ограничения на значения аргумента х могут быть записаны в виде одного двустороннего неравенства 0 < | х - а < 8 . Это неравенство выражает принадлежность аргумента х проколотой д -окрестности точки а .

Приведем равносильное определение предела функции в точке, вообще не содержащее математических соотношений.

Функция /(х) имеет в точке а предел, равный числу b, если для любой окрестности числа b (сколь угодно малой) найдется такая проколотая окрестность точки а , что для всех значений аргумента из этой проколотой окрестности соответствующие значения функции лежат в выбранной окрестности числа b.

Отметим, что значение предела не зависит от обозначения аргумента функции, фигурирующего в записи предела.

Рисунок 1.1

Геометрическая интерпретация понятия предела представлена на рисунке 1.1. На нём показано, что характер стремления функции /(х) к числу Ъ может быть совершенно произвольным. Изображенный на рисунке график функции показывает, что слева от точки а (т. е. со стороны меньших значений аргумента) функция приближается к предельному значению Ъ, монотонно убывая. Напротив, справа (т. е. со стороны больших значений аргумента) функция приближается к предельному значению сложным образом, совершая неограниченное число колебаний. При этом в точке а функция f(x) принимает значение f(a), отличное от Ь. Штриховыми линиями обозначены границы некоторых окрестностей точек а и b .

Функция, имеющая в некоторой точке предел, равный 0, называется бесконечно малой в данной точке.

Рассмотрим простейшие примеры пределов. Читателям рекомендуется понять приводимые далее несложные рассуждения; аналогичная логика многократно повторяется при построении теории пределов, разборе примеров и решении задач.

Пример 1. Постоянная функция f(x) = c, равная некоторому числу с во всех точках числовой оси, имеет в каждой точке а числовой оси предел, равный с :

В данном случае, очевидно, для всех х справедливо соотношение Дх)-с = 0.

Пример 2. Функция f(x) = x имеет предел в каждой точке а числовой прямой, причем

Действительно, если значения аргумента х неограниченно приближаются к числу а , то и значения функции f(x) = х, равные тем же значениям аргумента, так же неограниченно приближаются к числу а ; это и выражается равенством (1.2).

Проверим это равенство строго, опираясь на формальное определение предела. Фиксируем произвольное число а и выберем любое число 8 > 0 . По определению предела требуется установить выполнение неравенства

для всех значений х, удовлетворяющих условию

при некотором надлежаще выбранном значении 5. Поскольку f{x) = х, то требуемое неравенство (1.3) принимает вид х — а<е.

Следовательно, если выбрать 5 = 6, то из условия (1.4) данное неравенство будет вытекать непосредственно:

Тем самым, для любого числа s > 0 найдено число 5 = 6, которое гарантирует справедливость неравенства (1.3) при выполнении условия (1.4). Существование предела (1.2) доказано строго по определению.

Пример 3. Докажем равенство

В данном случае, очевидно, /(х) = 2х, а = 5, 6 = 10. Действуя строго по определению предела, выберем и фиксируем произвольное число 6 > 0 . Необходимо установить, что выполняется неравенство

если только значение аргумента х выбрано достаточно близким к числу 5, т. е. выполняется условие

Неравенство (1.6) делением на 2 приводится к следующему эквивалентному виду:

Следовательно, если выбрать число 5 = е/2, то из условия (1.7) будет вытекать неравенство (1.6):

В итоге, для любого числа 6 > 0 найдено число 5 = е / 2 , которое гарантирует справедливость требуемого неравенства (1.6) при выполнении условия (1.7). Справедливость равенства (1.5) доказана строго по определению.

Замечание 3. В последнем примере число 5 можно выбрать и меньшим, например, принять 5 = б/3. В этом случае из (1.7) также будет следовать (1.6).

Более сложный пример доказательства существования предела приведен в приложении 4.

В заключение параграфа подчеркнем, что многие математические понятия и конструкции таковы, что 1) определяются на основе теории пределов и 2) имеют важное практическое значение. Для таких случаев отметим, что размерность предела совпадает с размерностью функции, для которой берется предел (размерность понимается в «натуральном» выражении: метр, килограмм, секунда, денежная единица и т. д.).

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 
Популярные страницы