Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Отрицательный бесконечный предел.

Функция /(х) имеет в точке а предел, равный -оо (минус бесконечности), если при неограниченном приближении значений аргумента х к числу а соответствующие значения функции f(x) становятся отрицательными и по модулю неограниченно увеличиваются.

Замечание. При формулировке последнего понятия преднамеренно не используются слова «неограниченно уменьшаются», поскольку они могут быть поняты как «уменьшение к нулевому значению» и требуют дополнительного пояснения.

Наличие у функции /(х) в точке а предела, равного - оо, обозначается записью

или, иначе, /(х) —> -оо при х —> а .

Отметим, что наличие положительного и отрицательного бесконечных пределов требует вместо неравенства | /(х) | > В (см. предыдущую таблицу) выполнения более конкретных неравенств f{x)> В и f(x)< -В соответственно. Строгие формальные определения положительного и отрицательного бесконечных пределов приведены в приложении 1.

Пример 2. Установим справедливость равенства

Выберем произвольное число В > 0 . Определение положительного бесконечного предела требует выполнения неравенства

для всех х из некоторой проколотой окрестности точки 0. Данное неравенство равносильно двум соотношениям х Ф 0, | х | < 1 / Vi? .

Следовательно при выборе числа 8 = 1 / у/~В > 0 требуемое неравенство выполняется для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | х | < 8. Тем самым заданное равенство доказано строго по определению.

Пример 3. Установим справедливость равенства

Выберем произвольное число В > 0 . Неравенство

выполнение которого требуется в определении отрицательного бесконечного предела, равносильно условиям х ^ 0, | х | < е~в . Следовательно, при выборе числа 8 = е~в > 0 требуемое неравенство выполняется для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | х | < 8, что и доказывает справедливость заданного равенства.

Задание. Предлагаем читателям построить графики функций

и, тем самым, получить геометрическую интерпретацию рассмотренных бесконечных пределов.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы