Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Примеры вычисления пределов дробнорациональных и иррациональных функций

Рассмотрим ряд примеров вычисления пределов функций. Напомним, что дробно-рациональные функции рассматривались нами в параграфе 1.6. Иррациональными называются функции, представляющие комбинации корней целой степени (V^, п = 2,3,...) и дробно-рациональных выражений.

1). Вычислим предел

Выражение под знаком предела представляет собой аддитивную неопределенность вида оо - оо, поскольку обе заданные дроби являются бесконечно большими величинами:

Следовательно, теорема о сумме или разности пределов непосредственно неприменима. Проведем следующий ряд тождественных преобразований функции, стоящей под знаком предела:

В ходе преобразований проведено сокращение на множитель 1 - х Ф О в числителе и знаменателе дроби, который и обусловливал наличие неопределенности при х —»1. После сокращения неопределенность «исчезла», и преобразованный предел вычисляется элементарно по свойству непрерывности дробно-рациональной функции:

2). Вычислим предел

Выражение под знаком предела является дробно-рациональной функцией и представляет собой неопределенность вида 0/0 , поскольку

Следовательно, теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Проведем разложение на множители многочленов в числителе и знаменателе данной дроби. Корни квадратного уравнения х1 - Зх + 2 = 0 легко вычисляются и равны 1 и 2, так что справедливо представление

Решить явно кубическое уравнение х3 + 2 - 5х-6 = 0 не просто, но поскольку данный кубический многочлен обращается в 0 при х-2 (это установлено только что при вычислении предела (2.11)), то один из его корней равен 2. Следовательно, данное кубическое выражение делится нацело (без остатка) на jc - 2 (этот факт - следствие теоремы Безу [1]). Деление можно провести «уголком», как и для обычных чисел:

В результате получаем разложение

используя которое, завершаем вычисление предела:

3). Вычислим предел иррациональной функции

Отношение под знаком предела представляет собой в точке 1 неопределенность вида 0 / 0 , поскольку

Проведем следующие тождественные преобразования:

  • - умножим числитель и знаменатель дроби на величину yfx +1, сопряженную к разности 4х -1;
  • - применим формулу для разности квадратов:

- разложим разность кубов на произведение:

- сократим числитель и знаменатель дроби на величину

х -1Ф 0 (что выполняется в проколотой окрестности точки х = 1);

- используем свойство непрерывности квадратного корня в точке 1.

В результате получим следующую цепочку равенств:

4). Вычислим предел иррациональной функции

Выражение под знаком предела представляет собой неопределенность вида 0 / 0 , поскольку

Преобразуем числитель, умножая и деля его на сопряженное выражение:

Аналогично преобразуем и знаменатель:

В результате получим:

Преобразованное выражение уже не содержит неопределенности. Завершаем вычисление предела применением свойства непрерывности квадратного корня:

  • [1] Безу Этьен - французский математик XVIII в.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 
Популярные страницы