Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА

В настоящей главе изучаются различные важные и естественные обобщения понятия предела и непрерывности функции.

Односторонние пределы функции в точке

Постановка и решение широкого круга задач требует введения понятия односторонних пределов функции в точке - именно, пределов справа и слева. Эти понятия аналогичны классическому понятию предела функции в точке, изученному в главе 1.

Начнем с рассмотрения предела функции в точке справа. Прежде всего, сформулируем предположение, выполнение которого позволяет ввести данное понятие. Именно, будем предполагать, что функция /(х) определена в некоторой правой полуокрестности точки а, за исключением, возможно, самой точки а ; это равносильно тому, что область определения рассматриваемой функции содержит интервал вида (а; а"), где а" - некоторое число, большее а . Ясно, что интервал указанного вида примыкает к точке а справа.

Функция /(х) имеет в точке а справа предел, равный числу b, если при неограниченном приближении значений аргумента х к числу а со стороны значений, больших а, соответствующие значения функции /(х) неограниченно приближаются к числу b.

Предел функции в точке справа иначе называется правым предельным значением.

Тот факт, что число b является пределом функции /(х) в точке а справа, обозначается записью

иначе пишется, что /(х) —> b при х —» а + 0, или, совсем кратко, b = f(a + 0).

Строгие формальные определения односторонних пределов функции в точке приведены в приложении 1.

Пример 1. Рассмотрим функцию л/х . Сразу отметим, что в точке 0 предела в обычном понимании данная функция не имеет, поскольку ее область определения [0; + оо) не содержит ни одной проколотой окрестности точки 0. В то же время, если ограничиться стремлением аргумента к 0 со стороны только положительных значений, то данная функция будет иметь в точке 0 предел справа, равный 0:

Для установления этого факта поступим так же, как и в параграфе 1.2 при доказательстве существования обычного классического предела. В соответствии с определением данного предела выберем произвольное число ?>0 и установим, при каких условиях выполняется неравенство |Vx| < ?, выражающее малость отклонения Г* от 0(конечно, в данном неравенстве модуль можно опустить, поскольку квадратный корень всегда неотрицателен). Это неравенство эквивалентно

условиям х > 0, х < ?2 . Следовательно, если определить число 8

равенством 8 = е1, то из условия 0 < х < 8 будет гарантированно вытекать требуемое неравенство:

это доказывает существование указанного одностороннего предела и равенство его 0.

Аналогично вводится понятие предела функции в точке сле- в а. Пусть функция /(х) определена в некоторой левой полуокрестности точки а , за исключением, возможно, самой точки а (иначе говоря, область определения функции содержит интервал вида (а'; а), где а' - некоторое число, меньшее а ).

Функция /(х) имеет в точке а слева предел, равный числу Ь, если при неограниченном приближении значений аргумента х к числу а со стороны значений, меньших а , соответствующие значения функции /(х) неограниченно приближаются к числу b.

Предел функции в точке слева иначе называется левым предельным значением.

Равенство предела функции /(х) в точке а слева числу b обозначается записью

иначе пишется, что /(х) —> b при х -» а - 0, или b = f(a — 0).

Пример 2. Функция sgn(x) («знак числа», см. параграф 1.3) имеет следующие односторонние пределы в точке 0:

это видно из графика данной функции (рисунок 1.2) и может быть легко доказано непосредственно. В остальных точках а Ф 0 числовой оси односторонние пределы данной функции существуют, равны между собой и принимают значение 1 для а > 0 или -1 для а < 0 .

ПримерЗ. Обратные тригонометрические функции arcsinx и arccosx определены на отрезке [-1; 1] и непрерывны во всех внутренних точках отрезка (см. параграф 1.6). При этом для граничных точек -1 и 1 отрезка существуют односторонние пределы

Как и обычные пределы, односторонние пределы функций могут не существовать. Примером может служить функция

рассмотренная в параграфе 1.3; в нём показано, что данная функция в точке 0 предела не имеет. Полностью аналогичные рассуждения показывают, что данная функция не имеет в точке 0 ни левого, ни правого односторонних пределов.

Замечание 1. Важно подчеркнуть, что для конечных односторонних пределов остаются в силе все изученные выше в параграфе 1.5 свойства и теоремы.

Задание. Предлагаем читателям по аналогии с параграфом 1.5 самостоятельно сформулировать основные свойства односторонних пределов.

Замечание 2. Существование предела функции в точке равносильно существованию обоих односторонних пределов и их равенству. Этот факт можно кратко записать в следующем виде:

при этом фигурная скобка указывает, что оба равенства рассматриваются совместно (как и в обозначениях систем уравнений).

Если существуют конечные односторонние пределы функции в точке, то в этой точке может быть определен скачок функции как разность правого и левого предельных значений:

Ясно, что непрерывные в точке функции имеют в этой точке нулевой скачок.

Замечание 3. В отдельных учебных пособиях обозначения х—>0 + 0 и х—>0-0 одностороннего стремления аргумента к 0 используются в сокращенном виде как х —» +0 и х —» -0; в настоящем пособии такие сокращения используются.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы