Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Примеры вычисления односторонних пределов

Разберем ряд примеров вычисления односторонних пределов функций; при этом часто находят применение пределы в бесконечности основных элементарных функций, приведенные в приложении 2.

1). Вычислим односторонние пределы в точке 0 функции

arctg— , определенной при всех х + 0 . Вводя замену у = — и учиты-

х х

вая, что у —> +оо при х —» 0 + О и у—> —оо при х —» 0 - 0, получаем:

Отметим, что когда вычисление предела не связано с громоздкими тождественными преобразованиями, а функция под знаком предела представляет результат последовательного применения к аргументу основных элементарных функций (как и в настоящем примере), то вычисление такого предела можно выразить следующей логической цепочкой:

2) . Вычислим односторонние пределы в точке 0 функции

определенной при всех х ^ 0 . Вводя замену у = - 1/ х и учитывая, что у —> -оо при х —>0 + 0 и у —> +оо при х —> 0 - 0, получаем:

Графики двух рассмотренных функций показаны на рисунке 3.2. Каждый из графиков содержит две непрерывные ветви - для положительных и отрицательных значений аргумента.

3) . Вычислим односторонние пределы в точке 5 функции

Данная функция определена при всех х Ф 5. Прежде всего, вычислим предел справа знаменателя, вводя последовательно замены у = х-5 , z = l/j/ и учитывая характер стремления новых переменных:

Рисунок 3.2

Поскольку знаменатель дроби является бесконечно большой величиной, а числитель постоянен и равен 1, то сама дробь будет величиной бесконечно малой:

Вычислим предел слева, используя те же замены:

Представим вычисление заданных пределов посредством логических цепочек:

4). Вычислим односторонние пределы в точке 0 функции

(сравните с примером 1 из параграфа 2.6). Область определения данной функции включает все значения аргумента, для которых л: ^ 0 и 1 - > 0 , т. е. х g (-оо, 0) U (0,1 / 4]. Следовательно, вопрос о существовании односторонних пределов в точке 0 правомерен. С учетом элементарного равенства

получаем для предела справа:

Вычислим отдельно пределы основания и внешнего показателя:

С учетом предельных свойств степенно-показательных выражений (параграф 1.5) окончательно получаем:

Аналогично, с учетом равенства

получаем:

Поскольку значения односторонних пределов различны, то обычный предел в точке 0 у данной функции не существует.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы