Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Некоторые важные пределы

Вычислим следующие два предела, важные для различных приложений:

в каждом пределе параметры принимают значения а > 1, р > О . Данные пределы позволяют сопоставить скорости роста на бесконечности логарифмической, степенной и показательной функций.

1. Рассмотрим предел (4.6). Поскольку по свойствам основных элементарных функций

(см. приложение 2), то имеет место неопределенность вида оо / оо. Она может быть легко раскрыта по правилу Лопиталя, все условия применения которого выполняются:

последнее равенство справедливо силу того, что при р > О функция

хр является бесконечно большой при х —> +оо. Вычисленный предел свидетельствует о том, что логарифмическая функция растет на бесконечности медленнее, чем степенная функция с любым положительным показателем. Иллюстрацией применения данного предела на практике может служить задача поиска информации по таблице базы данных, рассмотренная в параграфе 6.5.

Замечание 1. Заданный предел можно вычислить и без применения правила Лопиталя, но расчет этот является весьма сложной аналитической задачей.

2. Рассмотрим предел (4.7). Поскольку по свойствам основных элементарных функций

то опять имеет место неопределенность вида оо / оо . Она может быть раскрыта либо путем подходящей замены переменной и сведением к первому пределу, либо многократным применением правила Лопиталя, либо их комбинацией. Разберем некоторые варианты.

1). Выберем замену ах = у, при которой x = log ау, у —> +оо при х —> +оо. Следовательно, справедлива цепочка равенств:

здесь применена вторая замена

и учтено, что в силу (4.6) при у —> +оо имеет место стремление z —» 0, а функция z~p при р > О является бесконечно большой в точке 0.

2). Применим правило Лопиталя:

В результате получаем предел, аналогичный исходному, со степенью на 1 меньше. Если изначально было р < 1, то данный предел равен + оо как предел произведения бесконечно большой в +оо функции ах и функции х1~р, которая обладает следующими свойствами:

  • - при р < 1 является бесконечно большой в + оо ;
  • - при р = 1 тождественно равна 1.

Если же изначально было р > 1, то неопределенность оо/оо остается, и выполняются все условия для повторного применения правила Лопиталя:

В результате снова получаем аналогичный предел со степенью на 2 меньше исходной. Если изначально было 1 < р < 2, то данный предел равен + оо . Если же изначально было р > 2, то снова выполняются все условия для применения правила Лопиталя. Применяя данное правило нужное число раз, устанавливаем, что предел (4.7) равен + оо.

3). Весьма эффективными могут быть приемы вычисления пределов, сочетающие применение правила Лопиталя и уже известных методик. Покажем это на рассматриваемом примере (4.7). Представим данное отношение в следующем виде:

где введено обозначение b = аУр , причем Ь>1 в силу условий а > 1 и р > 0 . Следующий вспомогательный предел вычисляется элементарно однократным применением правила Лопиталя:

Тем самым, и искомый предел вычисляется весьма просто с примене- Ъх

нием замены у = — :

*

Вычисленный различными методами предел (4.7) свидетельствует о том, что показательная функция растет на бесконечности быстрее, чем степенная функция с любым положительным показателем. Иллюстрацией применения данного предела на практике может служить задача сопоставления скорости роста простых и сложных процентов, рассмотренная в параграфе 6.2.

Задание. Предлагаем читателям самостоятельно вычислить значения указанных пределов при других значениях параметров а , р; для этого надлежит использовать свойства основных элементарных функций и уже рассмотренные пределы.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы