Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Точки разрыва функции и их классификация

Как уже сказано выше (см. заключение параграфа 1.6), точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности. Точнее, пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Точка а называется точкой разрыва функции /(х) , если в точке а функция либо не определена, либо определена, но не является непрерывной; в этом последнем случае должно выполняться одно из следующих трех взаимно исключающих условий:

  • - предел функции в точке а не существует;
  • - предел функции в точке а существует и бесконечен;
  • - предел функции в точке а существует, конечен, но не равен значению f(a).

В принятой классификации выделяются следующие н е п е р е - секающиеся классы точек разрыва функций:

  • 1) точки устранимого разрыва;
  • 2) точки разрыва 1 -го рода;
  • 3) точки разрыва 2-го рода.

Рассмотрим детально указанные пункты классификации.

1. Точкам называется точкой устранимого разрыва функции /(х), если существует конечный предел функции в данной точке, причем функция f(x) или не определена в точке а , или ее значение в точке а не равно этому пределу.

Название данного вида точек разрыва объясняется тем, что при наличии устранимого разрыва функцию f(x) можно определить или переопределить в единственной точке а так, что «исправленная» функция станет непрерывной в точке а .

Пример 1. Рассмотрим следующий ряд функций.

1). Функция

определена и равна 0 в точке 0, но ее предел в данной точке равен 1:

следовательно, точка 0 является точкой устранимого разрыва для данной функции. Действительно, если данную функцию переопределить в точке 0 так, чтобы она при х = 0 обращалась в 1, то такая «переопределенная» функция станет непрерывной.

2) . Функция

не определена в точке 1, поскольку при х = 1 обращается в О знаменатель дроби. Вычислим соответствующий предел:

Поскольку предел существует и конечен, то точка 1 является точкой устранимого разрыва для данной функции.

3) . Функции

не определены в точке 0, но имеют в данной точке конечные пределы (именно, первый и второй замечательные пределы); следовательно, и для данных функций точка 0 является точкой устранимого разрыва.

2. Точка а называется точкой разрыва 1 -го рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы: f{a + 0) Ф f(a-0).

При этом в самой точке а функция /(х) может быть либо определена, либо нет.

Пример 2. Рассмотрим следующие функции.

  • 1) . Функция sgn(x) имеет в точке 0 правый и левый пределы, равные +1 и -1 (см. параграф 1.3); поскольку эти пределы конечны и не равны, то точка 0 является точкой разрыва 1 -го рода данной функции.
  • 2) . Функция

имеет в точке 0 правый и левый пределы, равные я 12 и -к/2 (см. параграф 3.7); поскольку эти пределы конечны и не равны, то точка О является точкой разрыва 1-го рода данной функции.

3) . Функция

не определена только в точке 5 и имеет в данной точке следующие односторонние пределы (см. параграф 3.7):

поскольку пределы конечны и не равны, то точка 5 является точкой разрыва 1 -го рода данной функции.

3. Точка а называется точкой разрыва 2-го рода функции /(х), если в этой точке по крайней мере один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Пример 3. Рассмотрим следующий ряд функций.

1). Функция 1 / х в точке 0 имеет бесконечные односторонние пределы, так что точка 0 является точкой разрыва 2-го рода данной функции.

_ 1

  • 2) . Функция 2 х в точке 0 имеет правый и левый односторонние пределы, равные 0 и +оо (см. (3.2)); следовательно, для данной функции точка 0 является точкой разрыва 2-го рода.
  • 3) Функция sin— в точке 0 не имеет односторонних пределов

х

(см. параграф 3.1); следовательно, и для данной функции точка 0 является точкой разрыва 2-го рода.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы