ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

В настоящей главе приводятся основные сведения о сходимости и пределах числовых последовательностей, рассматриваются примеры вычисления пределов.

Понятие числовой последовательности

Числовая последовательность - простейший математический объект, на котором естественным образом вводятся и изучаются фундаментальные понятия предела, предельного перехода и сходимости[1].

Числовой последовательностью называется бесконечное множество пронумерованных чисел вида

где номера, или индексы п = 1, 2,... - числа из натурального ряда. Числа хп называются членами, или элементами числовой последовательности. Кратко числовая последовательность обозначается записью {х„, п = 1, 2,...}, {х„, п > l} или просто {х„}.

Числовую последовательность можно понимать как функцию хп = f(n), определенную на множестве натуральных чисел п- 1,2,.... Числовая последовательность обычно задается формулой, представляющей в общем виде значения членов последовательности. Для краткости числовую последовательность часто называют просто последовательностью.

Замечание 1. В ряде случаев элементы числовой последовательности нумеруются, начиная не с 1, а с других номеров (например, с 0); основными причинами этого являются удобство записи некоторых формул и конкретный практический смысл элементов последовательности. Например, числовая последовательность, заданная формулой

определена только при п> 11. Далее, если рассматривается динамика некоторого экономического показателя (обозначим его через х) за 5 лет, то удобно обозначить через х0 его значение в начале срока, через х1 - значение в конце 1 -го года, через х2 - в конце 2-го года и т. д.

Замечание 2. В отдельных случаях рассматриваются конечные числовые последовательности, в которых присутствует лишь конечное число элементов; таковыми являются, например, конечные арифметические и геометрические прогрессии, последовательность 1, 2, ..., 12 порядковых номеров месяцев года. С точки зрения теории пределов такие последовательности представляются малосодержательными.

Пример 1. Рассмотрим следующие примеры числовых последовательностей :

- постоянная числовая последовательность

задается формулой хп - 1;

- натуральный ряд чисел

задается формулой хп = п ;

- знакочередующаяся числовая последовательность

задается соотношением х„=(-1)"+1, п = 1,2,..., или хя=(-1)я, д = 0,1,2,...;

- числовая последовательность задается формулой х„ = 1 / п ;

- арифметическая прогрессия

задается формулой х„ - а + (п - )d , п = 1,2,...; здесь а - первый член прогрессии, d - разность прогрессии;

- геометрическая прогрессия

задается формулой хп - bq"~x, п = 1, 2,...; здесь b - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии;

- последовательность частичных сумм первых п членов геометрической прогрессии

при q Ф 1 может быть задана формулой

В отдельных случаях числовые последовательности задаются рекуррентными соотношениями, связывающими несколько (чаще всего два соседних) членов последовательности. Например, арифметическая прогрессия (5.5) может быть задана рекуррентным соотношением

геометрическая прогрессия (5.6) может быть задана рекуррентным соотношением

факториал может быть задан рекуррентным соотношением

во всех приведенных соотношениях предполагается, что п = 1, 2,...

Над числовыми последовательностями естественным образом определяются операции сложения, вычитания, умножения и деления. Именно, если {х„} и {>>„} - две числовых последовательности, то числовые последовательности вида {х„ +>’„}, {х„ - уп}, {х„ • уп),

{X)JУп называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным (отношением) двух данных последовательностей (в случае отношения требуется, чтобы уп Ф 0).

Следующий ряд понятий, относящийся к числовым последовательностям, полностью аналогичен соответствующим понятиям для функций, сформулированным в параграфе 1.1. Числовая последовательность {х/;} называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М (число т ), что каждый элемент данной последовательности удовлетворяет неравенству хп < М (неравенству хп > т ). Числовая последовательность {х„} называется ограниченной, если она является ограниченной одновременно сверху и снизу, т. е. если существуют такие числа т и М , что каждый элемент данной последовательности удовлетворяет неравенству т < х„ < М . Числовая последовательность называется неограниченной, если она не является ограниченной. Более конструктивно: числовая последовательность {х„} называется неограниченной, если для любого положительного числа А (сколь угодно большого) найдется такой номер N (зависящий, вообще говоря, от выбора А, т. е. N = N(A)), что выполняется соотношение | xN > А.

Пример 2. Проанализируем введенные выше числовые последовательности:

  • - постоянная числовая последовательность (5.1), знакочередующаяся последовательность (5.3) и последовательность (5.4) являются ограниченными сверху и снизу, т. е. просто ограниченными;
  • - натуральный ряд чисел (5.2) является ограниченным снизу и неограниченным сверху;
  • - арифметическая прогрессия (5.5) является ограниченной только при d = 0 ; при d > 0 арифметическая прогрессия ограничена снизу числом а и неограничена сверху, а при d < 0 — ограничена сверху числом а и неограничена снизу;
  • - геометрическая прогрессия (5.6) при Ьф 0 является ограниченной при | q | < 1 и неограниченной при | q > 1 .

Последовательность {х„} называется неубывающей (невозрастающей), если для всех номеров п справедливо неравенство х„+| > хп (неравенство х„+| < хп). Неубывающие и невозрастающие последовательности называются общим термином монотонные последовательности. Если неравенства в определении монотонности являются строгими, то такие последовательности называются возрастающими {убывающими), или строго монотонными.

Пример 3. Относительно свойства монотонности рассмотренных числовых последовательностей можно сказать следующее:

  • - постоянная числовая последовательность (5.1) является одновременно и неубывающей, и невозрастающей (но не строго монотонной);
  • - натуральный ряд чисел (5.2) является возрастающей последовательностью;
  • - знакочередующаяся последовательность (5.3) монотонной не является;
  • - последовательность (5.4) являются убывающей;
  • - арифметическая прогрессия (5.5) является возрастающей последовательностью при d > 0 и убывающей при d < 0 .

  • [1] В профессиональных курсах математики (точнее, математического анализа) построениетеории пределов берёт начало именно с числовых последовательностей. В настоящемпособии принят иной порядок изложения, что связано с лучшим знакомством выпускников школ с функциями, нежели с бесконечными последовательностями, и наличиемпривычного наглядного графического представления функций.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >