Вычисление пределов числовых последовательностей

Обратимся к методам вычисления пределов числовых последовательностей и дополним содержательными примерами рассмотренную в предыдущих параграфах теорию. Как уже отмечено выше, для вычисления пределов последовательностей можно применять все те свойства и приемы, которые приведены для функций в параграфе 1.5. Во многих случаях можно использовать следующую очевидную связь между пределами числовых последовательностей и пределами функций в бесконечности: если функция /(х) определена для всех х > 1, то из существования ее предела в + оо вытекает существование предела числовой последовательности {/(«),« = 1,2,...} и равенство пределов:

В частности, после подобного перехода от дискретного аргумента п к непрерывному аргументу х в соответствующих случаях можно применять правило Лопиталя, относящееся только к функциям с непрерывным аргументом.

Подчеркнем, что из существования предела в левой части данного равенства не следует существование предела в правой части. Предлагаем читателям самостоятельно построить соответствующий пример на основе функции /(х) = sin пх.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Вычислим с помощью типовых приемов следующие пределы, каждый из которых, в принципе, может быть сведен к вычислению предела функции непрерывного аргумента. С учетом знаний и опыта вычисления пределов функций пояснения к проводимым действиям требуются минимальные.

последнее равенство получено с учетом предела (4.5).

Следующие три предела характерны тем, что они не могут быть сведены к пределу функции /(х) непрерывного аргумента, поскольку выражения (-1)" и п не определены для нецелых значений.

Пример 2. Предел

равен 0 как предел произведения ограниченной последовательности

{(-1)"} и бесконечно малой последовательности i —-— L п- 1, 2,....

[л + lj

Пример 3. Вычислим предел

где /77 = 1,2,... - фиксированное натуральное число. Выражение С”' встречается в различных разделах математики, называется числом сочетаний из п элементов по т и определяется как число всех подмножеств (без учета порядка элементов внутри подмножества), содержащих ровно /77 элементов исходного объемлющего множества, состоящего из п различных элементов. Тем самым, должно выполняться соотношение т < п, так что данная числовая последовательность определена только при этом условии. Сочетания и их свойства изучаются в комбинаторике - разделе математики, посвященном исследованию свойств множеств с конечным числом элементов. Число сочетаний вычисляется по формуле

напомним, что факториал определен в параграфе 1.1. В частных случаях,

Приступим к вычислению предела, для чего запишем один из факториалов в следующем виде:

(в правой части после факториала имеется ровно т сомножителей). С учетом данного равенства преобразуем выражение под знаком предела:

Следовательно,

В последнем выражении перемножаются т — 1 пределов, причем каждый из них равен 1, т. к. при всех к = 1, 2,..., т - 1 справедливо:

Окончательно,

Пример 4. Вычислим предел

2"

Введем обозначение хп = — и рассмотрим цепочку равенств:

п

2 2

Поскольку при всех п > 3 выполняется неравенство — < — , то при

п 3

всех указанных значениях п имеет место неравенство

Повторяя данное неравенство многократно, получим:

Тем самым, при всех п > 3 получаем двустороннее неравенство

Поскольку

то в соответствии с принципом двусторонней ограниченности получаем:

Таким образом, предел данной последовательности существует и равен 0.

Вычисленный предел показывает, что при я —> оо факториал я! растет быстрее, чем показательная функция 2" (которая, как известно из результатов параграфа 4.3, растет в бесконечности быстрее и степенной, и логарифмической функций). Некоторые значения этих функций и их отношения представлены в следующей таблице. Из таблицы видно, что даже при небольших значениях аргумента показательная функция и факториал являются практически несопоставимыми. Аналогично можно установить, что в бесконечности факториал растет быстрее, чем показательная функция ап с любым основанием а > 1.

Я

2"

я!

2п

я!

5

32

120

« 0,267

10

1 024

3 628 800

* 0,282-10“3

15

32 768

1 307 674 368 000

«0,25 МО-7

20

1 048 576

2 432 902 008 176 640 000

«0,43 МО-12

Пример 5. В заключение вычислим предел Преобразуем выражение под знаком предела:

Поскольку л/и + 1 > 4п , 1пи > 0, то при всех п > 1 получаем:

Следовательно, имеет место двустороннее неравенство

Поскольку —» 0 при /7 —» оо (см. предел (4.6) из параграфа 4.3),

л/л

то по принципу двусторонней ограниченности искомый предел существует и равен 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >