Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

В настоящей главе рассматривается ряд примеров применения теории пределов к анализу отдельных экономических задач и процессов.

Модели потребительского спроса

Отметим прежде всего, что в современной науке исключительно широко применяются термины «модель», «моделирование», трактуемые следующим образом. Модель (от латинского слова «modulus» - мера) - общенаучное понятие, означающее объект (материальный или идеальный), анализ которого или наблюдение за которым позволяет познавать существенные характеристики объекта исследования.В качестве объекта исследования могут выступать различные объекты, системы, явления или процессы реального мира, в частности, экономического характера. Моделирование - один из основных способов научного познания, состоящий в изучении объектов исследования путем построения и изучения их моделей.

Моделирование - мощный инструмент исследования, прогнозирования и управления. Актуальность применения моделей для исследования экономических процессов обусловлена рядом факторов, в том числе сложностью объектов исследования и высокой ценой ошибок при принятии неправильных управленческих решений. Применение моделей позволяет провести глубокое детализированное изучение объектов исследования, значительно снизить стоимость и риск, связанные с изучением, использованием и управлением реальными системами и процессами, вследствие чего получить существенный экономический эффект. В общем случае к моделям предъявляется множество требований, главное из которых - адекватность, т. е.

достаточная степень соответствия модели объекту исследования, для изучения которого она построена.

Важным классом моделей являются математические модели, в которых объекты исследования и их свойства представлены в виде различных математических объектов и отношений (чисел, переменных, функций, уравнений и неравенств). Применение математических моделей - подчас единственный приемлемый подход к изучению сложных экономических систем, явлений и процессов. Именно такие модели рассматриваются в настоящей главе. Отметим также, что в современных условиях моделирование сложных систем различной природы проводится с применением компьютерной техники и соответствующего программного обеспечения.

В экономической теории важное место занимает анализ потребительского спроса на различные группы товаров. Величина спроса моделируется известными функциями Торнквиста, выражающими зависимость от величины дохода потребителей I их спроса Q(I) на следующие группы товаров:

- малоценные товары,

- товары первой необходимости,

- товары второй необходимости (товары относительной роскоши),

- предметы роскоши,

В данных формулах а , b, с - некоторые положительные параметры, различные для разных функций спроса.

Замечание. В задачах, имеющих конкретную экономическую направленность, обозначения переменных и функций могут существенно отличаться от уже привычных обозначений, принятых в математической теории.

Для уточнения поведения этих функций построим их графики, предварительно выяснив, существуют ли асимптоты у графиков данных функций.

Отметим, что вертикальных асимптот у данных функций нет. Действительно, как установлено в параграфе 4.4, вертикальные асимптоты у элементарных функций могут существовать только в граничных точках их областей определения. Первые две функции определены при / е [0; + оо), и их пределы в точке 1 = 0 справа, очевидно, нулевые:

Третья и четвертая функции определены при / е (с; + оо) , и их пределы в точке I = с справа также нулевые:

Следовательно, данные функции вертикальных асимптот не имеют, поскольку для их существования необходимо, чтобы указанные пределы были бесконечными.

Рассмотрим вопрос существования наклонных асимптот; с целью избежать коллизии в обозначениях параметров общее уравнение асимптоты запишем в виде Q = KI + В, где К - угловой коэффициент наклона, В - начальная ордината. Ясно, что наклонные асимптоты для данных функций могут рассматриваться только в + оо .

Вычисляем соответствующие пределы (см. параграф 4.4) для первой функции (спрос на малоценные товары):

Следовательно, наклонная асимптота в + оо у данной функции существует и выражается формулой Q = а (фактически является горизонтальной).

Вычисляем пределы для второй функции (спрос на товары первой необходимости):

Следовательно, у данной функции наклонная асимптота в +оо тоже существует и выражается формулой Q = а .

Для третьей функции (спрос на товары второй необходимости):

Таким образом, и у данной функции наклонная асимптота в +оо существует и выражается формулой Q = a .

Наконец, для четвертой функции (спрос на предметы роскоши):

Следовательно, у данной функции наклонная асимптота в + оо существует и выражается формулой Q = al -a(b + с) .

Рисунок 6.1

Графики всех функций Торнквиста вместе с их асимптотами приведены на рисунке 6.1.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы