СУТОЧНОЕ ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ И ДВИЖЕНИЕ ПОЛЮСОВ

Уравнения вращения Земли

Для описания особенностей вращения Земли с характерными време- нами много меньшими периода вынужденной прецессии земной оси целесообразно использовать систему координат, вращающуюся вместе с Землей [117]. Это может быть так называемая «географическая система», начало которой совмещено с центром Земли. Ось 3 направлена на географический север (вдоль средней оси вращения), ось 1 направлена в точку пересечения экватора и Гринвичского меридиана, ось 2 - на 90° к востоку от ОХг. Пусть ft - вектор мгновенной угловой скорости вращения в выбранной системе координат, ооь со2, со3 - его проекции на выбранные оси, тогда модуль этого вектора равен

Основное уравнение динамики вращательного движения применительно к рассматриваемой ситуации приводится к уравнениям Лиувилля [117]

где Iij - компоненты тензора инерции Земли; М* - компоненты момента импульса внутренних движений в объеме V масс с плотностью р со скоростями ик &ijk - антисимметричный символ Леви - Чивиты; Kt - компоненты момента внешних сил fk.

В уравнениях (1.2) - (1.4), как принято в тензорном исчислении, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

В тензоре инерции целесообразно выделить часть, связанную с деформацией Земли вследствие вращения [117; 126]. Пусть Л, В и С - главные моменты инерции. При осевой симметрии Земли А = В и С > А. Тогда

где /с2 - эффективно-приливное число Лява, /? - экваториальный радиус Земли, G - гравитационная постоянная, 5 ^ - символ Кронекера. Для деформации Земли вследствие вращения в геологическом масштабе времени число Лява к2 в (1.5) необходимо заменить на вековое число Лява ks. В этом случае из (1.5) имеем уравнения

которые определяют зависимость моментов инерции Л и С от угловой скорости вращения Земли на протяжении ее геологической истории. Полагая С = 8,038 • 1037 кгм2, А = 8,012 • 1037 кгм2, = 6,672 • КГ11 Нм2/кг2, R = 6,378 • 106 м и П = 7,292 • 10-5 с-1, для векового числа Лява полу- чаем значение

которое практически совпадает по величине с числом Лява для модели жидкой Земли [117].

В соответствии с теорией Кельвина деформации объемными силами однородного шара плотности р, жесткости (модуля сдвига) р и радиуса R «эквивалентную» Землю определяют как физическое тело, эффективноприливное число Лява которого равно

где pfc - безразмерная жесткость, причем

д - ускорение силы тяжести на поверхности шара.

Легко видеть, что при р -» оо (абсолютно жесткая Земля) к2 = 0, и добавок, связанных с осевым вращением Земли, в компоненты тензора инерции не возникает. С другой стороны, если принять к2 = 0,29 (наиболее часто встречающееся значение) и ks = 0,93, то = 2,207. Отсюда по

формуле (1.11) получаем, что модуль сдвига нашей планеты р величина порядка 8 • Ю10 Па, что сравнимо с жесткостью стали.

Для того чтобы учесть изменения /^, связанные с деформациями от вращения в произвольных масштабах времени [126], воспользуемся уравнением (1.9), из которого имеем

Подставляя это выражение в (1.5), учитывая (1.10) и вводя дополнительные моменты инерции /-, обусловленные перемещениями масс внутри Земли, получаем

Введем направляющие косинусы мгновенной оси вращения

причем m2 + m2 + ml = 1 и m + m| = sin2a « a2. Здесь a - малый угол отклонения мгновенной оси от средней или, другими словами, отклонение мгновенного полюса вращения от среднего, выраженное в радианной мере.

Линеаризация уравнений Лиувилля (1.2) основана на следующих, основанных на эмпирических данных, предположениях [117]. Центробежные моменты инерции hj (j- ^ j) малы в сравнении с главными моментами инерции А и С; моменты импульсов внутренних движений малы в сравнении с произведениями и СО.. Наконец, тг и т2 малы в сравнении с т3. Последнее означает, что проекции вектора ft на оси ОХг и ОХ2 малы в сравнении с его проекцией на ось ОХ3. Подставляя выражения (1.12) и (1.13) в уравнение Лиувилля (1.2), пренебрегая малыми величинами, получаем так называемые линеаризованные уравнения вращения Земли:

В уравнениях (1.14) - (1.16) введены следующие обозначения:

Уравнение (1.17) определяет частоту свободных колебаний полюсов деформируемой Земли (так называемую чандлеровскую частоту). Чандле- ровская частота а0 в pfc/(l + pfc) раз отличается от частоты свободной нутации Эйлера (С — А) • П/Л, которая соответствует модели абсолютно жесткой недеформируемой Земли (pfc -> оо). Эйлеровский период свободной нутации равен примерно 305 средних солнечных суток, а чандлеровский период составляет приблизительно 1,2 года. Естественно, что приведенные оценки соответствуют принятой модели Земли как однородного шара со средней плотностью р и средним модулем сдвига р.

Определяемые формулами (1.18) - (1.20) безразмерные величины [/. называются возбуждающими функциями, которые, собственно, и показывают наличие тех или иных особенностей во вращении Земли, связанных с действием на нее моментов внешних сил Ki9 с изменением моментов импульса внутренних и поверхностных движений, а также с изменениями компонент тензора инерции. Нетрудно заметить, что система уравнений (1.14) - (1.16) по своей сути разделена на уравнения (1.14) и (1.15), которые описывают движения полюсов, и уравнение (1.16), характеризующее изменения угловой скорости вращения.

Это разделение двух особенностей во вращении Земли связано, в частности, с большим различием в энергиях изменений суточного вращения и движения полюсов. Полную энергию вращения Земли

запишем в виде

откуда с учетом Q. = D0 + 5Q в пренебрежении членами второго порядка малости имеем

Полагая для оценки 5П/П0 = 10-8 и а = 0Д4 угл. с, получаем, что отношение переменной части энергии, связанной с суточной неравномерностью вращения Земли (первый член в квадратных скобках), к энергии движения полюсов (второй член в скобках) имеет порядок 107.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >