Теория Макдональда - Голдрайха

Г. Макдональд [116] первым использовал ЭВМ для интегрирования уравнений приливной эволюции СЗЛ с моментами приливных сил в форме (1.45). Результаты его численных расчетов представлены в виде большого количества рисунков временных зависимостей радиуса лунной орбиты, продолжительностей земных суток и синодического месяца, взаимных углов наклона плоскостей земного экватора, лунной орбиты и эклиптики. Однако все же главное достоинство работы [116], на наш взгляд, не в этих рисунках, а в полученных Г. Макдональдом выражениях моментов приливных сил вида (1.45) и в детальных обсуждениях возможных приближений при интегрировании приливных уравнений. В частности, в [116] показано, что почти вплоть до расстояний, соответствующих пределу Роша, можно пренебрегать эксцентриситетом лунной орбиты.

В своих расчетах параметров СЗЛ Г. Макдональд не принял во внимание эффекты, возникающие от взаимодействия сплюснутой фигуры Земли с Луной и Солнцем и от взаимодействия между Луной и Солнцем. Эти взаимодействия приводят к прецессионным движениям земного экватора и лунной орбиты, и моменты приливных сил должны быть усреднены по этим движениям. Все названные обстоятельства были учтены П. Голд- райхом [47], который прежде всего вывел прецессионные уравнения в виде

где

Здесь и далее используются следующие обозначения:

a,b,c - орты, ориентированные соответственно вдоль оси вращения, Земли, перпендикулярно плоскости орбиты Луны и плоскости эклиптики; i - угол между b и с; у - угол между а и с; s - угол между а и Ь; х = а с = cos у, у = b с = cos i, z = a • b = cos e, w = (a x b) • c; m, M, Mq - массы Луны, Земли и Солнца соответственно; аи clq - средние радиусы орбит Луны и Земли (обе орбиты будем считать круговыми);

R - экваториальный радиус Земли; р = (М + m)G, G - гравитационная постоянная;

С и А - полярный и экваториальный моменты инерции Земли;

П - угловая скорость суточного вращения Земли; п - среднее движение Луны; к2 - приливное число Лява;

Н = СО.- вращательный импульс Земли;

h = тМпа2 /(т + М) - орбитальный вращательный импульс Луны. Параметры L, Кг и К2 представляют собой величины, пропорциональные моментам сил, действующим соответственно со стороны Земли на орбиту Луны (L), со стороны Солнца на экваториальное вздутие Земли г) и со стороны Солнца на орбиту Луны (К2). В настоящее время отношение К2 больше 104, т. е. прецессия лунной орбиты определяется Солнцем. Однако в прошлом, когда расстояние Земля - Луна было гораздо меньше современного, это отношение также было меньше. Для а = 9R оно становится равным единице, если взять современное значение динамического сжатия J2. Если же учесть, что в прошлом сжатие Земли из-за ее более быстрого вращения было заметно больше, то равенство моментов К2и L имело место при a > 9R. П. Голдрайх дает оценку a = 17R. Все это предполагает, что когда Луна находилась близко от Земли (на расстояниях порядка 10/?), то ее орбита вначале прецессировала около оси вращения Земли, затем постепенно, по мере увеличения радиуса лунной орбиты, осью прецессии стала ось эклиптики.

Собственно приливная эволюция системы «Земля - Луна» описывается согласно П. Голдрайху уравнениями

причем

где Т - моменты приливных сил, обусловленные Луной (Т {) или Солнцем (Г0), которые определены уравнениями (1.45).

Сделанные нами оценки показали, что в формулировке Г. Макдональда эффектом взаимодействия Солнца с лунными приливами и Луны с солнечными приливами из-за значительного различия в средних движениях Луны и Солнца можно пренебречь. Поэтому в приливных уравнениях (5.7)—(5.12) влияние Солнца на эволюцию СЗЛ выражено только в прямом воздействии солнечных моментов на вращательный импульс Земли и на наклон земного экватора к плоскости эклиптики.

Суть метода Голдрайха состоит в следующем. Вначале интегрируются прецессионные уравнения (5.1)—(5.6) с тем, чтобы найти временные зависимости за период лунной прецессии величин w, х, у и z, т. е. косинусы углов г, у и г. Система (5.1)—(5.6) переопределена, поэтому достаточно взять любые четыре уравнения из этой системы. П. Голдрайх отдал предпочтение уравнениям (5.2)-(5.4) и (5.6). Последнее из них - это выражение для суммарного вращательного импульса СЗЛ, причем предполагается, что dA/dt = 0 за период прецессии. Найденные зависимости w(t), x(t), y(t) и z(t) используются для нахождения периода Т лунной прецессии (по нулям функции w(t)) и для осреднения по Т правых частей приливных уравнений (5.7)—(5.12), решения которых определяют новые начальные значения и параметры прецессионных уравнений.

Наличие прецессионных движений в системе «Земля - Луна - Солнце» приводит к тому, что в приливных изменениях углов г, у, и в необходимо рассматривать две ветви, одна из которых соответствует, скажем, минимальным значениям утла наклона лунной орбиты к плоскости земного экватора, а другая - максимальным значениям 8.

Чтобы избежать обсуждения временного масштаба приливной эволюции, П. Голдрайх в работе [47] прибегнул к весьма изящному способу, представив результаты расчетов параметров СЗЛ в функции расстояния Земля - Луна. В этом случае приливной диссипативный фактор из рассмотрения выпадает.

Для дальнейшего обсуждения проблемы важно также, что в [47] для расчета характеристик СЗЛ в прошлом использованы не только моменты сил Г. Макдональда в виде (1.45), но и более сложные (и более точные, по мнению П. Голдрайха) моменты Каулы - Дарвина. Анализ рисунков работы [47] показывает, что имеется небольшое различие в кривых, полученных с использованием моментов Макдональда и Каулы - Дарвина. Может быть, дело в том, что при использовании моментов Г. Макдональда П. Голдрайх солнечные приливы не учитывал вообще, хотя их можно описать теми же уравнениями (1.45). С другой стороны, если перейти во временную шкалу, то неопределенности изменений диссипативных свойств Земли в прошлом приведут к значительно большим эффектам в скоростях приливной эволюции, чем различия в выражениях для моментов приливных сил.

Использованный нами в работах [60; 61; 98] метод численного интегрирования систем уравнений (5.1)—(5.6) и (5.7) - (5.12) имеет некоторые непринципиальные отличия от того, что описан в [47]. Так же, как и П. Голдрайх, мы вначале интегрировали прецессионные уравнения, находили изменения w, х, и у за период лунной прецессии, с помощью которых осред- няли приливные уравнения и затем их интегрировали в приливной шкале времени, переходя к новым начальным значениям для интегрирования прецессионных уравнений. Однако мы не решали уравнение 6-го порядка для нахождения начального z, а определяли его из (5.5) при условии w = 0, что соответствует двум компланарным положениям векторов а, Ъ, с. Временную зависимость z(t) мы контролировали уравнением (1.44) с вычисленным для данного момента времени в приливной шкале значением периода прецессии Т. В связи со всем этим уравнение (5.12) нами не рассматривалось.

Пробные расчеты показали, что метод Эйлера обеспечивает достаточную точность интегрирования и прецессионных, и приливных уравнений. Шаг интегрирования был переменным и выбирался таким, чтобы относительные изменения всех величин были не более 2 %, что обеспечивало относительную погрешность ниже 10-6.

На рис. 5.1-5.6 представлены результаты расчетов параметров СЗЛ в функции расстояния Земля - Луна. Кривые на рис. 5.2-5.4 наглядно показывают, что переход прецессии лунной орбиты относительно оси вращения Земли к прецессии относительно оси эклиптики происходил в интервале расстояний примерно от 10 R до 20/?, что полностью соответствует выводам [47]. Зависимость периода лунной прецессии от расстояния Земля - Луна (рис. 5.1) также полностью совпадает с той, что приведена в [47].

Однако в поведении кривых е(а), у (а) и i (а) на рис. 5.2-5.4 имеются отличия от аналогичных кривых П. Голдрайха, главное из которых заключается в том, что в наших расчетах для а~10/? получены меньшие значения всех углов. Отсюда получается, что на ранней стадии эволюции СЗЛ взаимные углы наклонов земного экватора, лунной орбиты и плоскости эклиптики были малы, и только потом, в результате действия приливообразующих сил, они стали возрастать. Согласно же П. Голдрайху, наклон лунной орбиты к земному экватору никогда не был меньше 10°, что, по его мнению, исключает возможность аккумуляции Луны из экваториального роя частиц, обращавшихся вокруг Земли, или, тем более, отделение Луны от Земли.

Не имея возможности сравнить все детали нашего алгоритма и алгоритма П. Голдрайха, мы не можем утверждать, что какой-то из них содержит ошибку, и отдать предпочтение одному из результатов. Заметим только, что наши расчеты были устойчивы в отношении изменений шага интегрирования по приливной шкале. Результаты вычислений углов г(а), у (а) и i (а) контролировались с использованием соотношения (1.44) с соответствующими значениями периода лунной прецессии.

Зависимость периода прецессии лунной орбиты от расстояния Земля - Луна (в земных радиусах)

Рис. 5.1. Зависимость периода прецессии лунной орбиты от расстояния Земля - Луна (в земных радиусах)

Зависимость наклона лунной орбиты к земному экватору от расстояния Земля - Луна

Рис. 5.2. Зависимость наклона лунной орбиты к земному экватору от расстояния Земля - Луна

Зависимость наклона земного экватора к эклиптике от расстояния Земля - Луна

Рис. 5.3. Зависимость наклона земного экватора к эклиптике от расстояния Земля - Луна

Зависимость наклона лунной орбиты к эклиптике от расстояния Земля - Луна

Рис. 5.4. Зависимость наклона лунной орбиты к эклиптике от расстояния Земля - Луна

Изменения продолжительности земных суток в зависимости от расстояния Земля - Луна

Рис. 5.5. Изменения продолжительности земных суток в зависимости от расстояния Земля - Луна

Изменения угловой орбитальной скорости Луны в зависимости от расстояния Земля - Луна

Рис. 5.6. Изменения угловой орбитальной скорости Луны в зависимости от расстояния Земля - Луна

Согласно рис. 5.5 и 5.6, если на ранней стадии существования системы «Земля - Луна» расстояние между нашей планетой и ее спутником составляло несколько земных радиусов, то продолжительность земных суток была порядка 6-7 часов, а Луна двигалась по орбите с угловой скоростью в 10-20 раз большей ее современного среднего движения.

Имеется еще одно существенное замечание относительно ранней стадии приливной эволюции СЗЛ. Дело в том, что если даже расчеты этой стадии производить в рамках модели Макдональда - Голдрайха, то в выражения для моментов приливных сил необходимо внести уточнения, связанные с отличными от современных физическими свойствами нашей планеты. Есть и другие соображения, которые служат основанием для того, чтобы выделить расчет ранней стадии приливной эволюции СЗЛ в отдельную проблему. Поэтому в настоящей работе представлены и обсуждены результаты расчетов, относящихся к посткатархейскому периоду истории Земли, а точнее, к тому интервалу, который отмечен существованием Мирового океана.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >