АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СОГЛАСУЮЩЕ-КОМПЕНСИРУЮЩИХ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ ФИЛЬТРУЮЩИХ СТРУКТУР

В данной главе проведено исследование фильтрующих структур сосредоточенного и полураспределенного типа, предназначенных для компенсации влияния межэлектродной емкости управляющих полупроводниковых элементов, включенных в линию передачи с заданным волновым сопротивлением. Определено теоретическое значение предельно достижимой полосы частот для компенсирующих симметричных фильтрующих структур различного вида. Решение этой задачи позволило оценить эффективность рассмотренных схемотехнических решений. Для компенсации влияния диссипативных потерь на основе итерационной процедуры проведен синтез корректирующих цепей, существенно расширяющих полосу рабочих частот частотно-избирательных структур.

Компенсация влияния емкости управляющих элементов с помощью сосредоточенных фильтров нижних частот

В соответствии с разработанной концепцией построения УУ СВЧ высокого уровня мощности управляемые секции содержат параллельно и последовательно включенные полупроводниковые элементы. При отсутствии согласующих цепей управляемые секции имеют качественное согласование элементов лишь в области сравнительно низких частот, удовлетворяющих неравенству соC_dR_n «1 (здесь C_d - межэлектродная емкость управляющего элемента). На более высоких частотах в результате отражения сигнала от емкостей управляющих элементов ухудшается согласование и увеличивается рабочее затухание. Такой режим практически недопустим при уровне мощности входного высокочастотного сигнала порядка единиц ватт и более.

Фильтрующие структуры позволяют естественным образом компенсировать влияние индуктивностей выводов управляющих элементов, поскольку они могут быть полностью или частично включены в состав индуктивных элементов фильтров на сосредоточенных элементах или учтены в значении электрической длины отрезков линий передачи.

Одним из наиболее распространенных методов компенсации влияния межэлектродной емкости управляющего элемента C_d является использование двух индуктивностей, дополняющих емкость C_d до Т-образного фильтра нижних частот [13, 18, 20], как показано на рис. 5.1, а. При этом максимальное значение рабочей частоты управляемой секции с одним полупроводниковым элементом, соответствующее частоте среза фильтра, определяется соотношением

где g₂ - значение второго элемента низкочастотного фильтра-прототипа третьего порядка.

Рис. 5.1. Фильтр нижних частот третьего порядка: а - принципиальная схема; б - структурная схема

Г ^VJC

В качестве примера определим частоту /_с = — при параллельном

2 71

включении в 50-омную линию передачи коммутационного p-i-n- диода 2А528А, имеющего межэлектродную емкость С_d = 3 пФ. Для максимального значения входного коэффициента отражения IГ | max ^{= П}Р^И чебышевской аппроксимации значение нормированного второго элемента низкочастотного прототипа равно g₂ =1,1036 . Расчет по формуле (5.1) дает значение /_с = 1,17 ГГц. При использовании П-образной схемы ФНЧ для компенсации влияния емкости этого же диода в (5.1) вместо g₂ = 1,1036 нужно подставить g = 0,8633. Тогда /_с составит 0,916 ГГц, а в управляемую секцию в этом случае можно включить два полупроводниковых диода, межэлекгродные емкости которых соответственно равны значениям емкостей П-образного фильтра.

В общем случае для построения многоэлементных управляемых секций следует использовать фильтры, имеющие порядок п = т + 2, где т - число управляющих элементов.

Для нахождения предельно достижимой полосы частот управляемой секции задачу компенсации влияния межэлекгродной емкости управляющих элементов переформулируем как задачу согласования. Теоретический предел широкополосных свойств согласующих и фильтрующих структур, выполненных на сосредоточенных элементах, определяется фундаментальным интегральным ограничением Р.М. Фано [64], адаптированным для симметричных частотно-избирательных структур [100-103]:

где С, - емкость ФНЧ; R_t - усредненное характеристическое сопротивление в 1-м сечении фильтра; Г(со) - частотная зависимость коэффициента отражения.

Для чебышевского ФНЧ, выполненного на основе Т-образных звеньев (рис. 5.1, б), из соотношения (5.2) в явном виде следует выражение для предельной граничной частоты, на которой может быть обеспечена компенсация влияния межэлектродной емкости управляющего элемента C_d:

где R_t - усредненное характеристическое сопротивление фильтра в сечении, в котором включена емкость C_d; |Г(/)|_тах - максимальное

значение модуля коэффициента отражения на входе.

Отметим, что в разных сечениях фильтрующих цепей эквивалентное характеристическое сопротивление различно. Это обусловлено неодинаковыми значениями емкостей в соответствующих сечениях. В ФНЧ с чебышевской АЧХ эквивалентное характеристическое сопротивление каждого звена R_t имеет пульсирующую зависимость от частоты. Поэтому при нахождении оценки предельной полосы частот по (5.3) в качестве R_t можно взять его минимальное значение, вычисленное на частоте среза фильтра. В соответствии с теорией четырехполюсников величину Rj_mn в среднем сечении фильтра, состоящего из Т-образных звеньев, показанных на рис. 5.1, б, определим по соотношению [104]

Проведя нормировку в (5.4), нетрудно получить

Для симметричных фильтров, имеющих нечетный порядок п = 5, 7, 9, 11, 13 ..., выражение для характеристического сопротивления jR_/min среднего или центрального Т-образного звена имеет вид

где к = ^-^~ - номер среднего элемента фильтра.

В соотношении (5.6) учтено, что каждая внутренняя продольная индуктивность ФНЧ должна быть распределена на два Т-образных звена. На рис. 5.2 приведен график нормированного характеристического сопротивления в среднем сечении в зависимости от порядка для чебышевского (сплошная кривая) и для баттервортовского (штриховая кривая) фильтров при условии, что максимальное значение коэффициента отражения в рабочей полосе частот равно |Г(^ю)|_тах =0,15. Из

графика видно, что с ростом порядка фильтра п характеристическое сопротивление R_imin существенно уменьшается, что приводит к увеличению предельной полосы рабочих частот, определяемой соотношением (5.3). Подставив в (5.3) значение , равное 3 пФ для p-i-n- диода 2А528А, и значение Rj_mm, рассчитанное по (5.5), находим /с = 1,17 ГТц и /_тах =2,013 ГТц.

Рис. 5.2. Зависимость характеристического сопротивления в среднем сечении от порядка фильтра

Таким образом, для Т-образного ФНЧ третьего порядка с чебышев- ской АЧХ полоса рабочих частот составляет 58 % предельно достижимой полосы частот компенсации. Для чебышевского фильтра седьмого порядка при значении емкости С,- -С^-Ъ пФ граничная частота равна f_c =1,72 ГГц, а предельная частота /_тах составляет 2,25 ГГц. При этом эффективность компенсирующих свойств фильтра, рассчитанная с помощью соотношения (5.3), равна 76,4 %. Анализ показывает, что наименьшее характеристическое сопротивление имеет место в среднем звене, а наибольшее - в крайних Т-образных звеньях ФНЧ п-го порядка. Это означает, что в многозвенной структуре ФНЧ происходит последовательная трансформация характеристического сопротивления отдельных Т-образных звеньев сначала вниз, а после перехода через ось симметрии - вверх. Поскольку характеристическое сопротивление отдельных звеньев фильтра сначала понижается, а затем повышается, эффективность широкополосных свойств фильтрующих схем, применяемых для согласования или компенсации реактивных параметров управляющих элементов, с увеличением порядка фильтра п возрастает намного медленнее, чем в несимметричных согласующе-трансфор- мирующих схемах [71, 104].

Для симметричного чебышевского фильтра значения элементов низкочастотного прототипа в общем случае определяются по следующему рекуррентному соотношению [3, 104]:

где А_г - пульсация АЧХ, дБ; g₀ = g_n+ = 1 - нагрузки низкочастотного прототипа;

- первый элемент низкочастотного прототипа.

Для баттервортовского ФНЧ с максимально плоской АЧХ значения элементов низкочастотного прототипа при g₀ ⁼ 1 рассчитываются по следующему выражению [104]:

где |Г(со_с)| - модуль коэффициента отражения фильтра на частоте среза со_с.

Расчеты по соотношениям (5.1), (5.7) и (5.8) показывают, что при одной и той же межэлекгродной емкости управляющего элемента баттервортовский ФНЧ третьего порядка имеет в 1,84 раза меньшую частоту со_с по сравнению с чебышевским ФНЧ. При этом эффективность его компенсирующих свойств, рассчитанная с помощью соотношения (5.3), составляет 41,3 %. Такое уменьшение эффективности объясняется малой крутизной ската АЧХ баттервортовского фильтра. Для баттервортовского фильтра пятого порядка частота среза со_с в 1,34 раза меньше, чем у чебышевского. В приведенных выше приме-

Рах1гНтах=0’15-

В общем случае для ФНЧ нечетного порядка, у которых средним элементом является емкость, эффективность компенсирующих свойств определяется исходя из соотношений (5.1), (5.3) и (5.6):

На рис. 5.3 приведены графики эффективности для баттервортовского (штриховая кривая) и чебышевского (сплошная кривая) фильтров нижних частот различного порядка при их использовании для компенсации влияния межэлектродной емкости управляющих элементов. Расчет проведен по соотношениям (5.7) - (5.9). Из рассмотрения графиков видно, что с ростом порядка фильтра (п > 5) эффективность чебышевских фильтров, рассчитанная по выражениям (5.7) - (5.9), начинает снижаться. Эффективность компенсирующих свойств баттер- вортовских фильтров с ростом п также снижается, но более медленно. Это противоречит асимптотическому свойству критерия предельной широкополосности для чебышевских фильтрующих структур, используемых для трансформации или согласования [71], поскольку при возрастании порядка фильтра п существенно уменьшается характеристическое сопротивление R_t в среднем сечении фильтра, при этом его относительные изменения в рабочей полосе частот увеличиваются. Определение среднего значения R_t в аналитическом виде с помощью соответствующего интегрирования представляет собой сложную математическую задачу. Поэтому соотношения (5.7) - (5.9) дают хорошую точность при п< 6, что соответствует наиболее важным для практики случаям.

Рис. 5.3. Эффективность компенсирующих свойств чебышевского и баттервортовского фильтров, рассчитанная методом характеристических сопротивлений

При п > 6 повысить точность определения эффективности баттер- вортовских и чебышевских фильтров, используемых для компенсации влияния межэлектродной емкости управляющих элементов, можно с помощью предельного соотношения Р.М. Фано и интегрального усреднения коэффициента отражения в рабочей полосе частот:

где О = ///_с - нормированная частота; Q_c = 1 - нормированная частота среза фильтра.

Из системы уравнений (5.10) для оценки эффективности компенсирующих свойств фильтрующих структур непосредственно следует интегральное соотношение

Для баттервортовского фильтра частотная зависимость коэффициента отражения описывается выражением

I |r(Q)|²

где h - ---допустимое отклонение от единицы частотной

характеристики коэффициента передачи фильтра в рабочей полосе частот.

Для чебышевского фильтра частотная зависимость коэффициента отражения определяется следующим выражением:

Конкретные расчеты эффективности компенсирующих свойств фильтрующих схем различного типа и различного порядка могут быть выполнены методом численного интегрирования с достаточно высокой точностью по выражениям (5.11) - (5.13) с помощью компьютерных математических программ.

На рис. 5.4 показаны графики частотной зависимости коэффициента отражения соответственно баттервортовского и чебышевского фильтров для значений п = 9 и h = 0,1 дБ. Значению h = 0,1 дБ соответствует максимальное значение коэффициента отражения в рабочей полосе частот, равное |Г(Р)|_тах = 0,15.

Рис. 5.4. Частотная зависимость коэффициента отражения: а - для баттервортовского фильтра; б - для чебышевского фильтра

В полученном выше соотношении (5.11) числитель представляет собой среднее, а точнее, эффективное значение коэффициента отражения в рабочей полосе частот:

На рис. 5.5 приведены графики зависимости среднего значения коэффициента отражения от порядка баттервортовского (штриховая кривая) и чебышевского (сплошная кривая) фильтров для значения h = 0,1 дБ, полученные с помощью численного интегрирования выражения (5.14). Как видно из графиков, при п> 3 среднее значение коэффициента отражения |г| чебышевского фильтра практически остается постоянным, т. е. не зависит от порядка фильтра п.

Рис. 5.5. Зависимость среднего значения коэффициента отражения от порядка фильтра

В результате компьютерного моделирования установлено, что для чебышевского фильтра

Для баттервортовского фильтра предельное значение |г| равно

Справедливость соотношения (5.15) подтверждается следующими соображениями. Рассмотрим два интегральных выражения:

Если сравнивать подынтегральные функции (5.17) и (5.18), то в первом выражении она строго периодическая и ее среднее значение точно равно нулю. В соотношении (5.18) подынтегральную функцию можно представить как функцию с переменным периодом, которая при больших значениях п быстро уменьшается с ростом аргумента Q. Эту функцию можно также описать как быстро осциллирующую зависимость, определяемую медленной фазой arccosQ и большим параметром п, в пределе стремящимся к бесконечности. Отмеченные свойства иллюстрируются графиками (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Периодические функции: а- с постоянным периодом; б- с изменяющимся периодом

Математическое доказательство предела (5.18) проведем асимптотическим методом [106], который позволяет приближенно вычислить интегралы от функций вида

где <р(П) - медленно меняющаяся функция фазы (в данном конкретном случае равная arccosQ); а и b - пределы интегрирования, в данном случае соответственно равные 0 и 1; п - параметр, принимающий значения п »1.

Асимптотическое значение интеграла, зависящее от параметра (в рассматриваемой задаче параметром является порядок фильтра п, который в общем случае может принимать сколь угодно большое значение), представляет собой такое его приближенное значение, погрешность которого тем меньше, чем больше величина параметра п.

Поскольку на интервале 0

где/₀(П) = 1;/*(П) = ^[А^ .

(Ю.\_ ф(О)

Отсутствие седловых точек на интервале 0 - 1 поясняется следующим соотношением:

В соответствии с (5.20) определим первые две функции - /₀ (Q) и

ЖП):

Для значений к = 0 и к = 1 соотношения (5.22) подставим в (5.20). Для этих двух значений к степень параметра п, стремящегося к бесконечности, оказывается больше степени оставшейся части знаменате-

ля выражения (5.20). Поэтому численное значение нулевого и первого слагаемых (5.20) в соответствии с правилом Лопиталя равно нулю. С помощью непосредственной подстановки нетрудно убедиться в том, что для рассматриваемой функции (p(Q) = arccos Q любое к-z слагаемое в (5.20) равно нулю. Следовательно, интегралы (5.18) и (5.19) при значениях пределов а = 0 и b = 1 равны нулю. При переходе в выражениях (5.17) и (5.18) к модулям подынтегральных функций выполняются равенства

Последние два соотношения подтверждают, что действительно в чебышевском фильтре среднее значение коэффициента отражения в рабочей полосе частот стремится к постоянной величине. Это свойство чебышевской аппроксимации свидетельствует о ее квазиоптимальности при конечных значениях порядка фильтра п. В пределе при п -> оо чебышевский фильтр, используемый для компенсации межэлектродной емкости управляющих элементов, из квазиоптимального становится оптимальным, для которого эффективное значение коэффициента

отражения равно — |г|_тах.

По сравнению с классической несимметричной согласующей цепью симметричные фильтрующие структуры обеспечивают выигрыш по значению максимальной рабочей частоты, равный отношению R_n / R_t.

Как следует из рассмотрения графиков, приведенных на рис. 5.5, баттервортовский фильтр не является оптимальным с точки зрения предельного ограничения Р.М. Фано, так как в нем не обеспечивается постоянство |Г| в зависимости от порядка фильтра п. Поэтому баттервор-

товские фильтры имеют существенно меньшую эффективность компенсирующих свойств по сравнению чебышевскими. На рис. 5.7 приведены графики эффективности чебышевского (сплошная кривая) и баттервор- товского (штриховая кривая) фильтров в зависимости от порядка п, рассчитанные по полученному интегральному соотношению (5.11).

Согласно графикам эффективность чебышевского фильтра с возрастанием порядка п асимптотически приближается к пределу оптимальной компенсирующей цепи, обеспечивающей значение коэффициента отра- 2,

жения — Г . Эффективность компенсирующих свойств баттервор-

| чтшх

товского фильтра с ростом п также имеет тенденцию к насыщению. Из рассмотрения графиков рис. 5.7 следует, что эффективность баттервор- товского фильтра примерно в 1,4 раз меньше эффективности чебышевского фильтра. Это связано с тем, что нормированные элементы низкочастотных баттервортовских прототипов в первом приближении имеют во столько же раз меньшие значения по сравнению с соответствующими элементами чебышевских прототипов. Кроме того, нормированные значения элементов баттервортовского низкочастотного прототипа на основании (5.8) удовлетворяют неравенству

из которого следует, что

Рис. 5.7. Эффективность компенсации чебышевских и баттервортовских фильтров в зависимости от порядка п, рассчитанная по соотношению (5.11)

Сопоставление соотношений (5.6) и (5.25) позволяет сделать вывод о том, что баттервортовский фильтр в среднем сечении имеет ограниченное значение коэффициента трансформации характеристического сопротивления. Следовательно, полоса рабочих частот, в которой осуществляется компенсация заданной величины межэлектродной емкости управляющего элемента, даже при бесконечно большом порядке фильтра будет определяться сопротивлением нагрузки и конечным значением коэффициента трансформации.

Анализ нормированных значений элементов кауэровского низкочастотного прототипа [104, 107, 108] показывает, что они всегда меньше соответствующих значений чебышевского прототипа, поэтому на основании выражений (5.1) и (5.2) эффективность его компенсирующих свойств занимает промежуточное положение по сравнению с че- бышевскими и баттервортовскими фильтрами. Физически это обусловлено пульсациями коэффициента передачи вне полосы рабочих частот, что приводит к увеличению подынтегральной функции в соотношении (5.2).

Определенный теоретический интерес представляет также не только абсолютная оценка предельной широкополосности фильтрующих цепей компенсации, но и относительное сравнение широкополосных свойств чебышевских и баттервортовских симметричных фильтров, используемых в качестве компенсирующих цепей. Ниже приведены

результаты расчета выигрыша (р = /с^С//с^В , где /_С^с - максимальная

частота среза чебышевского фильтра, /_с^в - максимальная частота среза баттервортовского фильтра j, который обеспечивает чебышевский

фильтр по отношению к баттервортовскому фильтру при их использовании для компенсации влияния одинаковых межэлекгродных емкостей управляющих элементов. Расчет данных, приведенных в таблице, выполнен для уровня пульсации коэффициента передачи h = 0,1 дБ. Отметим, что с ростом величины h выигрыш в полосе частот будет увеличиваться, поскольку при бесконечно малом значении h происходит вырождение чебышевского фильтра в баттервортовский.

Анализ представленных данных показывает, что при равных условиях, т. е. при одном и том же виде управляющих элементов, имеющих одинаковую межэлектродную емкость, использование именно чебы- шевских фильтров в качестве симметричных компенсирующих цепей позволяет обеспечить максимальную полосу рабочих частот. Дополнительно отметим, что эти данные на количественном уровне хорошо коррелируют с результатами, показанными на графиках (рис. 5.7) и полученными в результате компьютерного расчета.