МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Метод разделения движений также выражает идею малого параметра, но только по отношению к параметрам, определяющим инерционность отдельных элементов системы. В реальных системах полное движение можно представить композицией подпроцессов, происходящих с различными скоростями. При этом инженеры пренебрегают быстрыми составляющими (малыми инерционностями), что не всегда возможно. Пренебрежение быстрыми процессами может привести к ошибочным выводам относительно качественных свойств системы, в частности устойчивости. Метод разделения движений отвечает на вопрос «При каких условиях можно пренебречь малыми инерционностями?»

Математическая модель систем с малыми инерционностями представляет собой систему дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных [6],

где функции / и ф соизмеримы по норме в рабочей области пространства состояний.

Обсудим некоторые очевидные свойства системы [4, 5], фазовый портрет которой приведен на рис. 4.1.

Как видно, всюду, кроме окрестности поверхности ф (х, у) = О, вектор скорости ориентирован «почти» параллельно координате у. Это означает, что скорость изменения у много выше, чем х, т. е. 1Й» И V(x,y: ф*0).

Выясним, как соотносятся векторы х и у на поверхности ф = 0 и вблизи нее.

Утверждение 3. Если изображающая точка системы движется вдоль

Пример фазового портрета системы с разнотемповыми процессами

Рис. 4.1. Пример фазового портрета системы с разнотемповыми процессами

поверхности ф(х,у) = 0, то векторы х и у соизмеримы.

Покажем справедливость этого утверждения. Поскольку равенство Ф = 0 тождественно по t, ф(х(/),у(0) = 0, то полная производная ф также равна нулю на интервале времени, т. е.

Как видим, векторы х и у связаны конечным соотношением без малых или больших параметров, что и означает справедливость утверждения о соизмеримости.

Таким образом, мы установили следующие свойства фазового портрета. При движении из произвольного начального состояния вначале процесс развивается быстро в силу больших модулей у. При подходе к поверхности ср = О модуль вектора у и, следовательно, полного вектора скорости (х, у) уменьшается, поскольку векторы х и у становятся соизмеримыми. Вдоль поверхности ср = О изображающая точка движется с «нормальной» скоростью.

Естественно задаться вопросом: «Можно ли пренебречь участком быстрого процесса?» На уровне «интуиции» ясно, что можно, если процессы сходятся к поверхности ср = 0 и интервал длительности быстрых процессов пренебрежимо мал по сравнению с полным временем процессов. Именно это интуитивно ясное понимание и оформляет метод разделения движений.

Определение 2. Подсистемой медленных движений будем называть систему

где через у0 обозначены значения у, соответствующие поверхности

(р = 0.

Если у0 найти явно как функцию х, у0 =ср_1(х), где через (р-1 обозначен оператор, обратный к (р, и подставить в уравнение для х, то получим независимую подсистему медленных движений

Система (4.4) описывает движение вдоль многообразия (р = 0, поэтому справедливо соотношение

Определение 3. Подсистемой быстрых движений будем называть уравнение

Это уравнение предполагает, что на участке изменения у величина х неизменна. Уравнение (4.5) имеет следующий смысл. Введем быстрое время т = р-1/ и подставим в (4.3) t = рт , получим

где индексом т выделена производная по новому времени т .

Теперь устремим р к нулю и получим, что

Возвращаясь к старому времени t, получим уравнение (4.5).

Замечаем, что системы (4.4) и (4.5) независимы, и, следовательно, движения разделены на два последовательных интервала - вначале быстрый по у к ср = 0, а потом медленный вдоль ср = 0. Степень этого разделения зависит от численного значения р .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >