ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ ЦЕПИ ЗВЕНЬЕВ

Рассмотрим последовательное соединение т звеньев (рис. 3.24), частотные характеристики каждого из которых известны. Получим выражения для определения эквивалентных частотных характеристик всей цепи. Согласно (3.24), обобщенная частотная характеристика равна произведению обобщенных частотных характеристик отдельных звеньев:

Запишем полученное выражение, представив функции в показательной форме:

Таким образом, эквивалентная амплитудная частотная характеристика равна произведению амплитудных частотных характеристик, а эквивалентная фазовая частотная характеристика - сумме фазовых частотных характеристик отдельных звеньев:

При использовании логарифмических амплитудных частотных характеристик имеем

То есть эквивалентная ЛАЧХ равна сумме ЛАЧХ отдельных звеньев.

На практике часто применяется графическое определение эквивалентных ЛАЧХ и ЛФЧХ при помощи суммирования характеристик отдельных звеньев. Рассмотрим получение ЛАЧХ на примере, из которого будет ясен общий метод. Пусть задана передаточная функция последовательной цепи звеньев в виде

причем 0,5 < 1, что позволяет не учитывать максимум на ЛАЧХ. Эта передаточная функция соответствует последовательному соединению следующих звеньев (рис. 3.40): пропорционального, интегрирующего, двух форсирующих, двух апериодических и звена второго порядка. ЛАЧХ перечисленных звеньев построены на рис. 3.41, а. Для удобства звенья на рис. 3.40 и рис. 3.41 пронумерованы. Эквивалентная ЛАЧХ может быть получена простым суммированием ЛАЧХ отдельных звеньев (рис. 3.41, б).

Последовательная цепь звеньев, соответствующая заданной передаточной функции

Рис. 3.40. Последовательная цепь звеньев, соответствующая заданной передаточной функции

Из рис. 3.41 видно, что легко можно строить непосредственно суммарную ЛАЧХ по передаточной функции W(p), не изображая характеристики отдельных звеньев (т. е. можно обойтись без рис. 3.41, а). Для этого сначала строится низкочастотный участок ЛАЧХ - прямая, пересекающая ось ординат в точке 20IgA:, наклон которой определяется по виду передаточной функции:

  • • ОдБ/дек, если числитель и знаменатель W(p) не имеют нулевых корней;
  • • +20дБ/дек, если числитель имеет один нулевой корень (содержится сомножитель р в числителе);
  • • -20дБ/дек, если знаменатель имеет один нулевой корень (содержится сомножитель р в знаменателе);
  • +т ? 20 дБ/дек, если числитель имеет нулевой корень кратности т (содержится сомножитель рт в числителе);
  • -т- 20 дБ/дек, если знаменатель имеет нулевой корень кратности т (содержится сомножитель рт в знаменателе).

Затем на оси абсцисс откладываются координаты точек излома ЛАЧХ, определяемые для каждого сомножителя вида (7/7 + 1) или

2/?2 + 2J7/7 +1) в числителе или знаменателе как log(l/7’).

Построение ЛАЧХ последовательной цепи звеньев

Рис. 3.41. Построение ЛАЧХ последовательной цепи звеньев: а - ЛАЧХ отдельных звеньев; б - эквивалентная ЛАЧХ

Низкочастотный участок ЛАЧХ продлевается до точки излома с наименьшим значением log(l/!T). С ним сопрягается следующий участок характеристики, имеющий новый наклон. Этот наклон определяется по виду сомножителя, соответствующего точке излома:

  • • (Тр + ) в числителе - наклон увеличивается на 20дБ/дек, т. е. последующий участок имеет наклон +20 дБ/дек по отношению к предыдущему;
  • • (Тр +1) в знаменателе - наклон уменьшается на 20 дБ/дек ;
  • 2р2 + 2dTp +1) в числителе - наклон увеличивается на 40 дБ/дек;
  • 2р2 + 2dTp +1) в знаменателе - наклон уменьшается на 40 дБ/дек;
  • {Тр + 1)А в числителе - наклон увеличивается на к- 20 дБ/дек ;
  • {Тр + 1)А в знаменателе - наклон уменьшается на к- 20 дБ/дек .

Построенный участок ЛАЧХ продлевается до следующей точки излома. Затем строится очередной участок характеристики, наклон которого определяется по уже рассмотренному принципу. Аналогично строятся оставшиеся участки ЛАЧХ, причем последний из них может быть продлен в сторону высоких частот до бесконечности.

Для сомножителей вида (Г2/?2 + 2dTp +1) при d< 0,5 необходимо вычисление отклонений от ломаной по (3.23) и построение «горбов» ЛАЧХ.

Наличие в передаточной функции сомножителя вида е~рх, соответствующего звену запаздывания, на ЛАЧХ, никак не отражается, поскольку амплитудная частотная характеристика этого звена равна единице.

Пример 3.4

Простроим ЛАЧХ системы автоматического управления, передаточная функция которой имеет вид

Определим точку пересечения низкочастотного участка ЛАЧХ с осью ординат: 20 lg 100 = 40 дБ.

Этот участок строится с наклоном ОдБ/дек (рис. 3.42), так как числитель и знаменатель передаточной функции не имеют нулевых корней.

Определим абсциссы точек излома.

Для сомножителя (0,031 +1) постоянная времени Ту = 0,0316 с , координата точки излома lg(l / 0,0316) = 1,5 дек.

Для (0,1/7 + 1): постоянная времени Г2=0,1с, координата точки излома lg(l / 0,1) = 1 дек .

Для (0,000р2 + 0,016/7 +1) постоянная времени Тъ = ^0,0001 = = 0,01 с, коэффициент демпфирования d = 0,016/(2Г3) = 0,8, координата точки излома lg(l / 0,01) = 2 дек .

Низкочастотный участок продлеваем до точки lg со = 1 дек. Поскольку она соответствует сомножителю (0,1/7 + 1) в знаменателе, наклон следующего участка будет 0 - 20 = -20 дБ/дек.

В точке lg со = 1,5 дек наклон увеличивается на 20 дБ/дек, а при lg со = 2 дек - уменьшается на 40 дБ/дек (рис. 3.42).

Поскольку коэффициент демпфирования у сомножителя второго порядка d = 0,8 > 0,5 , ЛАЧХ близка к ломаной, и построение «горба» для точки излома lg со = 2 дек не требуется.

ЛАЧХ, соответствующая заданной передаточной функции для примера 3.4

Рис. 3.42. ЛАЧХ, соответствующая заданной передаточной функции для примера 3.4

Задачи

3.1. Определить передаточные функции САУ, структурные схемы которых показаны на рис. 3.43, а, б.

Структурные схемы к задаче 3.1

Рис. 3.43. Структурные схемы к задаче 3.1

3.2. Изобразить структурную схему САУ, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

3.3. Изобразить структурную схему САУ, передаточная функция которой имеет вид:

3.4. Построить ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >