Уравнение плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение, записанное в виде

называется общим уравнением плоскости и описывает плоскость в трехмерном пространстве.

Рассмотрим уравнение (2.12) как систему из одного матричного уравнения (см. параграф 5 главы 1). Пусть А Ф 0, и потому является базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной матрицы равен единице, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: у = z = 0. Тогда получим л: = -D/А. Так как n = 3,r= 1, фундаментальная матрица имеет два столбца. Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: у = 1, z = Оиу = 0, z = 1. Соответствующие значения базисной неизвестной х, найденные из приведенной системы, будут -В/А и -С/А. Итак, общее решение системы (2.12) есть

Рис. 2.17

будет перпендикулярен вектору п=(А,В,С).

Формула (2.13) описывает не что иное, как параметрические уравнения плоскости.

Пусть плоскость Q проходит через точку М0 (л:, у , z0) перпендикулярно вектору п = (А, В, С) (рис. 2.17).

Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор называется нормальным вектором плоскости Q. Возьмем в плоскости Q произвольную точку М(х, у, z). Тогда вектор М{)М = (х-х0, у-у0, z-z^

Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е.

Сп, М0М) = 0.

Полученное уравнение представим в координатной форме:

Уравнение (2.14) представляет собой уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору п = (А, В, С) и проходящей через данную точку М00, у0, zQ).

В уравнении (2.12) тогда D = -Ах0 - Ву0 - CzQ.

Можно доказать, что всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными есть уравнение плоскости.

Если D = 0, то уравнение Ах + By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи зависят от расположения нормального вектора п = (А, В, С).

Так, например, если А = 0, то уравнение (2.12) определяет плоскость, проходящую через ось Ох, если А = В = 0, то уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оху; если А = В = D = 0, то уравнение Cz = 0 (или z = 0) определяет координатную плоскость Оху.

Рассмотрим несколько моментов, связанных с решением задач.

1. Предположим, что надо составить уравнение плоскости, которая проходит через точку Р и перпендикулярна прямой PQ, если P(pvp2,p3), Q(qv q2, q). Вектор PQ = (q{-pv q2-p2, q3-p3) = = (Al,B2,C3).

Поэтому уравнение плоскости можно записать так:

Так как точка Р лежит в плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению: Арх + Вр2 + Ср3 + D = 0. Отсюда находим D и подставляем в уравнение (2.15).

  • 2. Допустим уравнением (2.12) задана плоскость, и требуется указать какой-нибудь вектор, параллельный плоскости. Ясно, что им будет вектор, перпендикулярный вектору п = (А, В, С), удовлетворяющий уравнению (2.12).
  • 3. Плоскость, пересекающая ось Ох в точке (а; 0; 0), ось Оу в точке (0; Ь 0) и ось Oz — в точке (0; 0; с), имеет уравнение

называемое уравнением плоскости в отрезках.

4. Предположим, что нам известны три точки в трехмерном пространстве Р,(*,, ух, zx), Р22, у2, z2), Р33, у3, z3), не лежащие на одной прямой. Чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через эти три заданные точки, нужно раскрыть определитель:

5. Для четырех точек />,(*,, у,, z,), Р22, у2, z2), Р33, у3, z3), Р44, у4, z4), лежащих в одной плоскости, должно быть выполнено условие

6. Чтобы найти угол между двумя заданными плоскостями а{х + bxy + c{z + dx = 0 и а2х + b2y + c2z + d2 = 0, нужно воспользоваться формулой:

Особый интерес представляют условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, которые определяются соответственно условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов пх = х, В{, Cj) и п2 = (Л2, В2, С2).

Рассмотрим систему уравнений, каждое из которых — плоскость в трехмерном пространстве:

? ТЕОРЕМА 2.1. Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями (2.18), параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число А, что

Плоскости совпадают в том и только в том случае, когда их уравнения (2.18) пропорциональны, т.е. помимо уравнений (2.18) выполнено (с тем же X) равенство

D2 = XDv Ш

Таким образом, условием параллельности двух плоскостей (2.18) является условие пропорциональности коэффициентов при

А, В, С,

одноименных переменных: — = — = — = л, которое можно записать в виде

Условием перпендикулярности двух плоскостей является условие перпендикулярности их нормальных векторов пх - (Ар Вх, Сх) и п2 = (Л2, В2, С2).

Это возможно, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

Решение системы из трех уравнений типа (2.12) с тремя неизвестными — это точки пространства, которые должны принадлежать одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В этом случае возможны следующие варианты:

  • а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение;
  • б) три плоскости пересекаются по одной прямой, т.е. система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой);
  • в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их - бесчисленное множество решений (все точки прямой пересечения трех плоскостей), ранг системы равен двум;
  • г) все три плоскости совпадают, т.е. все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице;
  • д) хотя бы одна из трех плоскостей параллельна какой-либо из двух других, т.е. решений нет, и система несовместна.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >