Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

Кривые второго порядка

Эллипс и окружность

Рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными в общем виде

в котором А, В и С не равны нулю одновременно.

? ТЕОРЕМА 2.2. Для любой линии, заданной уравнением второго порядка (2.25), существует декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из девяти канонических видов:

В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы’, 3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых)', 4) гиперболы', 5) пары пересекающихся прямых', 6) параболы; 7) пары параллельных прямых', 9) прямые (пары совпавших прямых).

Уравнениям вида 2) мнимого эллипса и 8) пары параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка. ?

Итак, мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

при условии, что кривая имеет только действительные точки (рис. 2.19).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат А {-а; 0), А2(а; 0), 5,(0; Ь), В2{0; -Ь) называются вершинами эллипса. Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Точки F{(-c; 0) и F2(c; 0), где

Рис. 2.19

называются фокусами эллипса, а отношение

его эксцентриситетом.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Очевидно, что 0 < ? < 1, причем, если с = 0, то ? = 0.

? ТЕОРЕМА 2.3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. Ш

ОПРИМЕР 2.7. Определить вид и расположение кривой

111

Решение. Дополняя члены, содержащие х и у, до полного квадрата, получим

или

Следовательно^ кривая (2.29) представляет эллипс с полуосями а = 6 и b = 3v2, центр которого находится в точке 0'(2; -4) (рис. 2.20). ?

В частном случае при а = b уравнение (2.26) есть уравнение окружности х2 + у2 - а2. Для окружности е = 0.

Продолжим изучение кривых второго порядка, описываемых уравнениями второй степени с двумя переменными.

Пусть дана окружность радиуса R с центром О'(х0, у0) (рис. 2.21). Найдем ее уравнение.

Для произвольной точки М(х, у) окружности выполняется равенство O'M = R.

Используя формулу расстояния между двумя точками (см. пример 2.1), получим уравнение

или (после возведения в квадрат двух положительных частей уравнения) — равносильное уравнение

Рис. 2.20

Рис. 2.21

Итак, координаты каждой точки окружности М(х, у) удовлетворяют уравнению (2.30). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на окружности, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение (2.30) называется нормальным уравнением окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат (х0 = у0 = 0) имеет вид:

О ПРИМЕР 2.8. Найти координаты центра и радиус окружности

Решение. Дополнив члены, содержащие >>, до полного квадрата, получим х2 + 2 + 8у + 16) - 16 - 10 = 0, или х2 + {у + 4)2 = 26, т.е. центр окружности в точке 0(0; -4), а ее радиус Я=л/26. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы