Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

Гипербола и парабола

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением

Рис. 2.22

Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами Лх(а; 0) и А2(-а; 0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа awb называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы (рис. 2.22).

Фокусы гиперболы — точки Fx(c; 0) и F2(-c; 0), где с = л/а22, а с

ее эксцентриситет ? = — принимает любые значения, большие 1. а

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямые с уравнениями у = ±—х называют-

а

ся асимптотами гиперболы.

  • ? ТЕОРЕМА 2.4. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась d — F2M - MFX = 2а. Ш
  • ? ТЕОРЕМА 2.5. Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системыцентром симметрии. Ш

>ПРИМЕР 2.9. Написать уравнение гиперболы с асимптота-

3 3"|

ми у = ±—х, проходящими через точку А 6; — . Найти расстоя-

4 V ^ j

ние между ее вершинами.

( 3^

Решение. Так как точка А 6; — лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению:

Кроме того, — = — так как асимптоты гиперболы у = ±—х, a 4’ 4

Решая полученную систему двух уравнений, найдем

х2 у2

a = 4л/2, b = 3yfl, т.е. уравнение гиперболы — - = 1 (рис. 2.23).

Расстояние между вершинами гиперболы равно 2a = 8л/2. ?

Рис. 2.23

Рис. 2.24

ОПРИМЕР 2.10. Найти координаты центра, вершин и урав-

„ 3-2х

нения асимптот гиперболы у =-.

х + 1

Решение. Преобразуем уравнение, выделив целую часть дробно-линейной функции:

с „ 5

где т = 5, или у + 2 =-,

х + 1

откуда (х + 1)(у + 2) = 5.

Полагая х + 1 = х', у + 2 = = у', получим ху = 5, т.е. заданное уравнение равносторонней гиперболы с центром 0-1; -2) и асимптотами х+1=0,у + 2 = 0 (рис. 2.24). Т ак как т = 5 > 0, то гипербола располагается в I и III квадрантах, а новые координаты ее вершин (±л/5; ± л/5 ). Переходя к старым координатам по формулам х = х' — 1, у = у — 2, найдем старые координаты вершин гиперболы:

Здесь нельзя не сказать о каноническом виде гиперболы, известном из школьного курса геометрии: ху = к. Можно привести множество примеров из области экономики, сводящихся к построению этих кривых.

Вспомним из курса экономической теории, что инвестиция — это функция от процентной ставки, а процентная ставка — это тот процент денег, который пользователь капитала должен заплатить владельцу.

Рис. 2.25

Чем выше г, тем ниже объем инвестиций, так как пользователю капитала при высокой процентной ставке невыгодно брать кредиты. Зависимость инвестиций от г называется инвестиционной функцией /(г) ( рис. 2.25), простейшая ее модель — верхняя ветвь гиперболы.

Более подробно этот материал изложен в работе [18].

Параболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением

где р > 0.

Из уравнения (2.33) вытекает, что для всех точек параболы л: > 0. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции у = ах2. Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат, по сравнению с прежней, оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством 2р = а~{.

Если точка О'(х0, у0) — вершина параболы, то парабола имеет вид:

При р > О ветви параболы направлены вправо, при р < 0 — влево (рис. 2.26). Прямая у = у0 является осью симметрии параболы.

Рис. 2.26

Точка F — ;0 называется фоку-

U J

сом параболы, а прямая х = —^ —

ее директрисой (рис. 2.27).

Для произвольной точки М(х, у) параболы расстояние до фокуса MF по формуле примера 2.1 равно

Рис. 2.27

  • (так как х + — >0). С другой сторо-
  • 2

ны, расстояние до директрисы

? ТЕОРЕМА 2.6. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы. Ш

Если в уравнении (2.33) поменять местами х и у, то получим х[1] = 2ру — уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение обычно

Рис. 2.28

Графиком функции (2.35) при В = С = 0 является парабола. При А > 0 ветви параболы направлены вверх, при А < 0 — вниз (рис. 2.28).

/ ^

Отсюда у = А х2 Н—х + — Дополнив выражение, стоящее

I А А)

в скобках, до полного квадрата, получим

^ , В , 4АС-В2 ,

Обозначим х Н--= х, у--= у, тогда в новой сис-

  • 2 А 4 А
  • ( В 4 АС -В2'

теме координат О'х'у с центром О'--,- уравнение

2 А 4 А

V У

(2.36) примет виду' = А (х')2.

Таким образом, график квадратного трехчлена у - Ах2 + Вх + С

( В 4АС — В2 л

есть парабола с вершиной в точке О'---и осью

2 А 4 А

У

вЛ

симметрии х = ~~^’ паРаллельнои оси Оу.

ОПРИМЕР 2.11. Построить кривую у - -Зх2 + Юл: - 3.

Решение. Вынося коэффициент при х2 и дополняя правую часть уравнения до полного квадрата, получим

Рис. 2.29

16 J 5Т

или у--= —3 х— .

3 3

V J

П 5 , 16 ,

Полагая х — = х, у--= у,

3 3

получим у' = -3(л;')2.

Таким образом, заданная кривая есть парабола с вершиной в

n'f5-16!

точке О — — и осью симмет-

3 3

V )

рии О'у', параллельной оси Оу (рис. 2.29). ?

  • [1] _ 1 записывают в виде у = ах , где а — ——. 2 р Рассмотрим квадратный трехчлен
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >
 

Популярные страницы