Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

Производственная функция и функция полезности

Приведем примеры использования функций в экономике.

Мы в подпараграфе 2.1. главы 4 рассмотрели бюджетное множество, на котором строится система предпочтений потребителя.

Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, удобно оценивать привлекательность набора товаров количественно, т.е. приписать каждому набору X из пространства товаров G какое-то число и (X). Получается функция и: G —> R. Главное требование к такой функции, чтобы она отражала отношение предпочтения (слабого) на G, т.е. удовлетворяла условиям: и (X) < и (Y), если и только если X < Y; и {X) = и (У), если и только если X ~ Г; и (X) < и (У), если и только если X < Y.

Такая функция называется функцией полезности; и она постоянна на каждом классе равноценности, т.е. ее можно представить как функцию, “перебирающую” классы равноценности в сторону все большего предпочтения наборов товаров.

Работать с функцией полезности гораздо удобнее, чем с системой предпочтений. Однако, если на систему предпочтений не накладывать никаких ограничений, кроме рассмотренных ранее (а именно: транзитивность, совершенность и рефлексивность), функции полезности может и не существовать. Тем не менее при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, функция полезности существует.

Рис. 4.9

Скажем, что система предпочтений непрерывна, если для всякого X s G множество предпочтительности Р =

= {Fg G:I^ 7}и множество предпочтительности Nx = {Z е G : X < Z) замкнуты (рис. 4.9). Кстати, как легко видеть, пересечение этих двух множеств есть класс равноценности.

Чуть позже (в § 10 главы 4) мы сформулируем условия, при которых функция полезности существует.

Сейчас отметим, что функция полезности, если она существует, не определяется единственным образом. Главное требование к функции полезности — она должна отражать систему предпочтений. Поэтому, если и(Х) — функция полезности, то

(где к > 0, а b — константа) также есть функция полезности; и вообще, если у = f{x) — произвольная строго возрастающая числовая функция на R, то сложная функция f(u(X)) также есть функция полезности.

Основные свойства функции полезности вытекают из ее связи с системой предпочтений.

Сформулируем свойства желательности каждого товара:

Для функции полезности отсюда следует, что она неубывающая, т.е. Х< Yвлечет и(Х) < u(Y), а если к тому же Хф Y, то и(Х) < u(Y).

Мы в подпараграфе 2.2 главы 4 рассмотрели производственное множество (заштриховано на рис. 4.10), на котором существует производственная функция. Итак, пространство затрат m-мерно. Каждой точке пространства затрат X = (jt,..., xm) соответствует единственный максимальный выпуск, произведенный при использовании этих затрат. Эта связь и называется производственной функцией. Однако обычно производственную функцию понимают не столь ограничительно, и всякую функциональную связь между затратами и выпуском считают производственной функцией.

Рис. 4.10

Предполагается, что производственная функция/удовлетворяет двум аксиомам.

АКСИОМА 1. Существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью Е, в которой увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Таким образом, если Хр Х2две точки этой области, то Х{ > Х2 влечет f{Xx)>f{X2).

АКСИОМА 2. Существует выпуклое подмножество S экономической области, для которой подмножества {X е S: /(X) > а} выпуклы для всех а > 0.

Чуть позже (в § 17) мы вернемся к экономическому обоснованию этих аксиом.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы