Асимптотические методы исследования математических моделей

ЭВМ, «освобождая нас от многих обязанностей, не освобождает во всяком случае от двух: от необходимости владеть математическим аппаратом и творчески

мыслить» (В.И. Феодосьев)

Методы разделения движений регулярно возмущенных систем

«Метод решения хорош, если мы с самого начала можем предвидеть, - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.»

(Г. Лейбниц)

О нормализации уравнений движения и введении малых параметров

При построении математических моделей реальных физических, технических и иных задач инженеры и специалисты по прикладной математике етяряютгя принять во внимание одни особенности задачи, другими полностью пренебрегают и лишь в определенной степени учитывают третьи. Для осуществления этих важных шагов следует, прежде всего, определить порядок величин различных параметров задачи (т.е., насколько они велики или малы), сравнивая их друг с другом и с заранее выбранными их характерными значениями и ввести новые безразмерные переменные, отнесенные к этим характерным значениям. Этот процесс называется нормализацией. Введение безразмерных переменных всегда необходимо делать, прежде чем пытаться применить какие-либо аппроксимации.

Масштабы (характерные значения) размерных переменных зависят от задачи и ее конкретной постановки. Так, если некоторый параметр системы имеет длину один сантиметр, является ли он большим или малым? Ясно, что если исследуется, например, движение спутника но орбите, то один сантиметр - пренебрежимо малое расстояние. Однако, если в задаче

В задаче имеется четыре размерных параметра: время Т, масса М, коэффициент демпфирования В и жесткость пружины К. Введем масштабные коэффициенты и безразмерные величины. Для этого положим

здесь величины со значком * - характерные масштабы изменения соответствующих величин, а малыми буквами обозначены соответствующие

безразмерные переменные. Подставляя замену (3.3) в уравнение (3.1) и деля *

на К ,получим

  • ? *
  • 1 / D

В уравнение (3.4) входят два безразмерных комплекса--и -.

КТ*2 КТ*

Введем величины Т и Т2, имеющие масштаб времени, следующим

  • * *
  • - т М В

В К

Эти величины представляют собой так называемые постоянные времени, смысл которых будет пояснен ниже. В таком случае уравнение (3.4) примет вид

Отметим принципиальное различие между величинами Ту, Т2 и *

величиной Т . Величины Ту и Т2 определяются заданными параметрами

* * _ * * * исходной системы (М , В , К ), года как Т в нашей власти: Г

к? характерное время, на котором нас интересует решение уравнения (3.5), и эта величина может быть выбрана гто-разному.

В связи с возможными упрощениями уравнения (3.5) интересно обсудить возможные ситуации в зависимости от параметров задачи и построить приближенные решения в этих ситуациях.

Рассмотрим сначала случай малого коэффициента демпфирования В. В этом случае можно ожидать, что точка совершает слабо затухающие

колебания, близкие к свободным гармоническим колебаниям, описываемым

*

уравнением (3.1) при В - 0. Выберем в качестве масштаба времени Т

величину / {Ыо — / * ~ собственная частота свободного

/too V

движения), так как этот характерный масштаб времени сохраняется в предельном случае В- 0. Тогда

  • *2 М ТГ') Ту В
  • 1 = ——, —— = 1, —— - .1 ? г -1и. где и - малый параметр

К f2 т 4к*м*

{/Л « 1).

Заметим, что малость величины В вовсе не означает, что данная система будет представлять собой систему с малым затуханием; на самом деле для малости затухания необходимо, чтобы был мал параметр

В * * *

/2^—f== (так и будет, если В - мало, а К и М -конечны)

2V К* М*

Уравнение (3.5) примет вид

Уравнение движения в формуле (3.6) удобно для изучения движения системы на временах порядка периода собственных незатухающих колебаний и построения приближенных решений.

При /и = 0 уравнение (3.6) превращается в уравнение незатухающих гармонических колебаний

Рассмотрим теперь случай малого значения массы М (В Ф 0) . Этот случай особенно интересен, так как предельное уравнение при М = 0 имеет первый порядок (в отличие от уравнения (3.1)) и поэтому оба начальных условия (3.2) не могут быть удовлетворены.

Таким образом, в окрестности t = 0 при исследовании задачи возникают

трудности. Отсюда следует, что в этой задаче существенное значение имеет #

промежуток времени Т , на котором исследуется решение уравнения (3.1).

*

При достаточно малом значении величины Ы Т «ТЬ и

* *

Т /72 = ji - малый параметр и К - конечны).

*

Возьмем в качестве характерного масштаба времени Т (большой

интервал). Тогда уравнение (3.5) примет вид

При /и - 0 оно превращается в уравнение первого порядка

Итак, в зависимости от значений параметров исходного уравнения (3.1) имеем два случая проведения нормализации уравнения (3.1), в результате которой имеем уравнения (3.6) и (3.8). содержащие малый параметр // при различных членах уравнений. На основании этих уравнений можно строить приближенные решения исходного уравнения. Об этом пойдет речь в п.и.З.З., 3.4. и 4.1.,4-2.

Для уравнений (3.8) можно продолжить рассмотрение с целью получения приближенного решения.

Решение уравнения (3.9) имеет вид

где с - произвольная постоянная, которая будет определена ниже из условий

согласования решений. Постоянная времени решения (3.10),

*

ь В

характеризующая скорость затухания решения равна — = —— = / 2 •

  • * К
  • *

Если в качестве характерного масштаба времени Т принять Т, то есть малый интервал времени в окрестности t = 0, то уравнение (3.5) примет вид

и при ц — 0 имеем уравнение

с начальными условиями, получающимися из (3.2),

dx

Ооозначая v - —, перепишем уравнение (3.12) в виде

dt

Ь

—t

Решение уравнения (3.14) с учетом условий (3.13) имеет вид v(t) = v$e т Тогда

* /

Постоянная времени этого решения равна ^ / * = Т, а так как

/ В

*

величина М - мала, то решение (3.15) имеет место на коротком интервале

VQW ^

времени и б конце утого ин i ерьала л —-. ло значение представляет

b

собой начальное условие для решения на последующем интервале времени,

VQW

определяемого формулой (3.10), в которой положим с =-.

b

Таким образом, для уравнения (3.5) в случае малой массы М имеем два различных нормализованных уравнения (3.8) и (3.11) в зависимости от интервала времени, на котором требуется построить решение. Эти уравнения содержат малый параметр и дают возможность строить приближенные решения, основываясь на более простых уравнениях, получаемых при fi — 0.

Рис 3.2

На Рис. 3.2 представлен график приближенного решения уравнения (3.5) при малой массе М: (1) - решение, описываемое формулой (3.15); (3.2) - решение, описываемое формулой (3.10).

С точки зрения механики представленная ситуация понятна. В течение короткого промежутка времени около / = 0 главную роль играет инерция (тх) и сопротивление (Ьх) (начальная скорость >q Ф 0) , а слагаемое, характеризующее восстанавливающую силу (кх). не существенно, так как х(0) = 0 и за короткий промежуток времени x(t) остается малым (уравнение

(3.12)). На последующем промежутке времени малая масса оказывается не существенной (jumx = 0) и уравнение движения принимает вид уравнения первого порядка (3.9). Исходное начальное условие по скорости трансформируется в начальное условие для уравнения (3.9), состоящее в том,

VQtn

что начальное смешение совершает скачок л*о --•

Проведенный анализ показывает, чю уравнение (3.5) в зависимости от значений параметров задачи может содержать малый параметр в различных членах уравнения: это либо уравнение (3.6), либо уравнение (3.8), либо уравнение (3.11). При /и = 0 эти уравнения переходят соответственно в уравнения (3.7), (3.9), (3.12), которые называются невозмущенными, в отличие от уравнений (3.6), (3.8), (3.11), называемых возмущенными (в них /J =? 0). Уравнения (3.6), (3.11), порядок которых не изменяется при ju = 0, называются регулярно возмущенными. Уравнение (3.8), порядок которого уменьшается при ц — 0, называют сингулярно возмущенным. Методы построения приближенных решений для регулярно и сингулярно возмущенных систем принципиально различаются и будут рассмотрены в Главах 3 и 4.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >