Разделение движений в системах с малым параметром при производных

«Если один способ оказывается негодным, попробуй другой и выбирай всякий раз наиболее подходящий» Ф.Д. Честерфилд

О построении приближенных решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных

В Главе 3 рассматривалось построение приближенных решений для системы вида

где х - п-мерный вектор, -и-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по x,t,ju в некоторой области изменения х, t, ц (в том числе по малому параметру на некотором отрезке fu <> juq). Пусть решение x(t^i) системы (4.J) определяется некоторым дополнительным условием, например начальным

Естественный путь построения приближенного представления для решения x(t,/j) - начать с решения уравнения (4.1) при /J = 0. которое в этом случае является, вообще говоря, более простым.

Определим ею решение Зс(/) гем же начальным условием (4.2), т.с. положим х(/()) = д‘0. Естественно ожидать, что если /г достаточно мало, то ,y(?q) будет служить для x(t,ju) приближенным представлением, т.с.

разность x(t,f.i) - x(t) будет стремиться к нулю при // —» 0 на конечном отрезке времени [/о,Т. Более того, если функция сявляется аналитической функцией своих аргументов в некоторой области их изменения, то при достаточно малых // решение x(txu) представляется в виде сходящегося степенною ряда по /и.

Об этом подробно сказано в Главе 3. Однако, как показано в п. 3.3. представление решения в виде (4.4) может оказаться непригодным на

большом интервале времени t ~ .

Другой причиной неприменимости приведенного способа построения приближенного решения уравнения (4.1) в виде (4.4) даже на конечном интервале времени может быть разрывная зависимость правой части системы (4.1) от параметра /л. В этом случае разность х(t,/u)-x(t) не будет стремиться к нулю при //—>0 на всем отрезке времени |/о,Г]. Именно такая ситуация, в частности, имеет место в системах, в которых малый параметр /Л

входит множителем при части производных, т. е. в системах вида

Т Т Т

Систему (4.5) можно переписать в виде (4.1). в котором х = ( у , z Г 1 Т ~Т Т

и (р = {—F , f ) . Очевидно, что условие непрерывности функции М

(p{x.t,fi) по и. наложенное на правую часть системы (4.1). нарушается при —> 0 и возникает особенность.

Систему (4.5) можно привести к такому виду, в котором параметр и входит в правые части системы аналитически. Для этого достаточно сделать замену времени t ~ jlit огда

К системе (4.6) уже можно применить указанный выше способ построения приближенного решения. Но практическая польза от такого действия невелика. Можно говорить о близости решений системы (4.6) и системы, которая получается из (4.6) при ц — О

ТЛШ.1'Л на l'r>upuum< nmpivp ппймрин т т р nmooi/e Dnaupuii t ппппячч /» Лм

- — - - — *• “ *‘vn* *»>»••• v *pVJt«V H^Vfavitl4 V ч • ,v. VIpWVUV UpWiUVim t tlV Д V 1

очень малом отрезке реального времени t).

В дальнейшем будем рассматривать систему вида (4.5). Поставим задачу Коши: найти решение системы (4.5) удовлетворяющее начальным условиям

Попробуем построить приближенное решение задачи (4.5), (4.7) гем же способом, как и для задачи (4.1), (4.2), т.е. полагая ju = 0. Тогда вместо (4.5) получим

Из сравнения систем (4.5) и (4.8) сразу видны отличия от систем (4.1) и (4.2):

!) В тс» время как порядок системы (4.3) тот же. что и у системы (4.1), у систем (4.5) и (4.8) порядок разный (у системы (4,8) порядок меньше, чем у системы (4.5): ряд дифференциальных уравнений заменяется конечными соотношениями F(z, У,1) =0).

2) Решение х(/) системы (4.3) может удовлетворить начальному условию (4.2), поставленному для решения x(t,ju) системы (4.1). Решение системы (4.8), вообще говоря, не может удовлетворить всем начальным условиям (4.7), которыми определяется решение исходной системы (4.5). Это происходит из-за того, что порядок системы дифференциальных уравнений (4.8) ниже, чем у системы (4.5).

Отсюда следует, что уже в начальной точке t — Jq решение системы (4.8)

может сильно отличаться от решения системы (4.5). Причина указанного несоответствия в том, что при /л - 0 меняется тип уравнений; уравнения (4.5) вырождаются в том смысле, что их решения определяются меньшим

^лплипитт! И» »V UO’rnnilll iraw r>OlHOni>C> тчтлм л»1/'то»/г т гт~

,w«vau<4 tv^iuuk«1<ь t VHV/Uim. pumvimv nv/vw^uv/n спч-ivmuj 1 1U

этой причине для системы (4.8) часто употребляют название вырожденная система (иногда укороченная система).

Система (4.1) по отношению к системе (4.3) обычно называется возмущенной. Изменение, которое вносит в уравнение наличие параметра ц Ф 0. называют возмущением. Эту же терминологию можно принять и для систем (4.5), (4.8). Однако в случае систем (4.1), (4.3) говорят, что возмущение является регулярным, а в случае (4.5), (4.8) - сингулярным. Другими словами, если при наличии отличного от нуля возмущения тип системы меняется по сравнению с невозмущенной системой гак, что для определения решения возмущенной системы требуется большее число дополнительных условий, чем для определения решения невозмущенной системы, то возмущение будем называть сингулярным [10.18].

Таким образом, при построении приближенного решения системы (4.5) на базе укороченной системы (4.8) сталкиваемся со следующими трудностями

  • (этих трудностей не было при построении приближенных решений системы
  • (4.1) на основе системы (4.3)).
  • 1) Решение системы (4.8) не может, вообще говоря, удовлетворить всем дополнительным (начальным) условиям, которым удовлетворяет решение исходной системы (4.5). Заранее неясно, какие из дополнительных условий (4.7), заданных для исходной системы (4.5), следует оставить для определения решения системы (4.8) и какие отбросить, чтобы получить решение системы (4.8), близкое к решению системы (4.5).
  • 2) Если уравнение F(z,y,t) = 0 имеет относительно z несколько корней, то опять-таки неясно, как следует выбирать корень для получения правильного приближения.
  • 3) Близость решений исходной и вырожденной системы имеет место, вообще говоря, лишь при определенных условиях, накладываемых на правые части системы (4.5). Действительно, рассмотрим простейший пример системы (4.5) - уравнение первого порядка

Он показывает, что решение уравнения (4.9), имеющее вид z(t^ju) = zqCX р(^//), близко к решению z(t) = 0 вырожденного

уравнения лишь если а < 0; если же а > 0, то это решение при (1 —> О неограниченно возрастает.

Одной из основных задач, возникающих при исследовании системы (4.5). является установление указанных условий в общем случае.

  • 4) Заранее ясно, что как бы ни определять решение вырожденной системы, оно, вообще говоря, не может служить приближением для решения исходной системы в окрестности начальной точки t~tq. в которой заданы условия «выпадающие» для вырожденной системы. Поэтому для
  • 1x0

построения приближенного решения системы (4.5), пригодного на всем множестве значений t, где рассматривается решение системы (4.5),

вообще говоря, не удается обойтись только решением вырожденной системы (4.8).

В следующих разделах будет показано, как разрешить указанные трудности.

Проиллюстрируем некоторые из перечисленных трудностей на примере скалярного уравнения первого порядка

При ц- О имеем вырожденное уравнение

которое является не дифференциальным, а конечным уравнением, и для него никаких дополнительных условий поставить нельзя. Поэтому, если F(zo,0) Ф 0, то решение z(t) уравнения (4.11) уже в начальной точке t - О не удовлетворяет начальному условию z(o) = zq> поставленному для решения исходного уравнения (4.10).

Далее предположим, что уравнение (4.11) имеет только одно решение z — (p{t) и будем считать, что ц> 0. Тогда при //—>0

dz/dt - МilF{z,t) -»со в каждой точке (z,r), в которой Р(г,()ф0, причем знак dz / dt совпадает со знаком F(z.t). Следовательно, касательные к интегральным кривым во всех точках плоскости (zt), в которых F(z,t) Ф 0, стремятся при /и —> 0 к направлению, параллельному оси Oz. Причем, если F(z,t)>0, то решение уравнения (4.10) возрастает с ростом Л так

как dz!dt > 0. а если F(z,t) < 0, то z(t,/у) убывает с ростом t.

На Рис.4.1 представлено решение вырожденного уравнения (4.11) z = (pit), две инте1ральные кривые уравнения (4.10) и поле направлений, отмеченное сгрелками, при достаточно малом ц.

Л

Рис.4 Л

Рис.4.1 соответствует случаю, когда при фиксированном t знак функции F(z,t) при возрастании z меняется с плюса на минус при переходе через график решения z~(pit) (F(z,t) = 0) вырожденного уравнения.

• i

Интегральная кривая, начинающаяся в точке zq (или z92), идет резко вниз (или соответственно вверх), пока не приблизится к кривой z = (pit) и в дальнейшем остается вблизи (pit), т.е. кривая z~(p{t) как бы притягивает интегральные кривые. В этом случае ясно, что существует /] такое, что при t ^ t ? 0 при достаточно малом и решение исходного уравнения (4.10) можно приблизить решением вырожденного уравнения (4.11). В рассматриваемом случае говорят, что решение z = (pit) является устойчивым.

Если же функция F(z,t) при переходе через z = (p{t) меняет знак с минуса на плюс (Рис.4.2) или же вообще не меняет знака (Рис.4.3), то, очевидно, что решение z(t,ju) исходного уравнения (4.10) нельзя приблизить решением вырожденного уравнения (4.11) ни на каком интервале времени.

Рис.4.2

Рис.4.3

Нетрудно установить условие устойчивости, необходимое для возможности использования решения вырожденного уравнения (4.11) в качестве приближенного решения уравнения (4.10). Действительно, если dF/dz< 0 при F(z,t) = 0, то решение z-) - устойчиво, если же dF/dz > 0 при F(z,t) = 0, то z = неустойчиво, т.к. в первом случае функция F убывает с ростом z и следовательно, меняет знак при переходе через F = 0 плюса на минус, а во втором случае F возрастает с ростом z.

Пусть теперь уравнение F{zj)~ 0 имеет несколько не- иересекающихся корней z~(p (/), z = (pi(f), z = (p^{t) и пусть функция F(z,t) меняет знак при переходе через каждый корень так, как указано на Рис.4.4

Рис.4.4

Из рассмотрения Рис.4.4 следует, что решения z ~ устойчивые, а решение z — 2(t) - неустойчивое. Кроме того, здесь выделяется еще одна существенная особенность задачи: в зависимости от того, где находятся начальные условия, в качестве приближенного решения следует выбирать то или иное из устойчивых решений вырожденного уравнения. Если начальные условия расположены выше кривой О (Z10 и z20)> то в качестве приближенного решения следует принять z = (р (t); если же начальные условия расположены ниже кривой q>2(t) (Z30 и z40)> в качестве приближенного решения следует принять z = (/).

Таким образом, появляется новое понятие - область влияния устойчивого корня. Строгое определение этого понятия будет дано в п.4.3.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 1. Линейное уравнение.

Рассмотрим два уравнения

с начальным условием z(0) = zq. Считаем, что ju> 0.

При /и =? 0 для обоих уравнений вырожденное уравнение одно и то же z-t = 0 и его решение z(t) = t. Для уравнения (a ):dF Idz = 1 > 0, для уравнения (b) dF/dz — —1<0. Таким образом, условие устойчивости

решения вырожденного уравнения выполнено только для уравнения (Ь) и, следовательно, функция z{t)~t может служить приближенным решением

только для уравнения (Ь) на интервале времени t>t >0. Точное решение уравнения (Ь) имеет вид

!S4

На Рис.4.5 представлено точное решение z(tji) уравнения (Ь) и решение вырожденного уравнения z(t).

Рис.4.5

Рис.4.6

Из Рис.4.5 видно, что вблизи начальной точки t = 0 имеется зона, в которой, как бы мало ни было fi, решение z(t,ju) сильно отличается от

вырожденного, что, собственно говоря, и ожидалось с самого начала.

Явление, заключающееся в том, что при наличии сингулярного возмущения могут возникать зоны, в которых решение исходной (возмущенной) системы значительно отличается от решения вырожденной системы при сколь угодно малых получило название явления пограничного слоя. Сами эти зоны называют зонами (областями) пограничного слоя. Термин «пограничный слой» заимствован из гидродинамики вязкой жидкости.

Рассмотренный пример демонстрирует не только наличие пограничного слоя, но и структуру решения в этой области. Разность между решениями исходной и вырожденной систем носит затухающий характер. Входящая в формулу (4.12) экспонента как бы осуществляет поправку к вырожденному решению z(t), позволяющая удовлетворить начальному условию, чего нельзя добиться, используя только решение вырожденной системы. Эта экспонента, сыграв свою роль в окрестности начальной точки /=0. при увеличении времени / быстро затухает.

Оказывается, что отмеченная закономерность имеет весьма общий смысл: поведение решения сингулярно возмущенной системы в пограничном слое описывается экспоненциально затухающими функциями для достаточно широкого класса систем [10,18].

Пример 2. Нелинейное уравнение Рассмотрим уравнение

При (Л — 0 имеем вырожденное уравнение

имеющее два решения z(t) = 0, z(t) = F +1. Первое из этих решений

dF . dF Л

неустойчиво, а второе - устойчиво | — > 0, — < 0 |.

Ч& z=0 &г=»2+1

В качестве пpибJiижeннoгo решения уравнения (4.13) на интервале времени t ^ >0 следует принять z(t) = Г +1, но только для начальных

условий, для которых Zq > 0 (в таком случае начальные условия лежат в области влияния устойчивого решения вырожденной системы). Ecvm же Zq < 0, то в уравнении (4.13) членом, содержащим параметр ft пренебрегать нельзя (см. Рис.4.6).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >