СТЕРЕОМЕТРИЯ: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Следствия аксиом стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Курс геометрии, изучаемый в средней школе, состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Являясь простейшими не только в геометрии, но и во всей математике, понятия точек, прямых и плоскостей не сводятся к другим элементарным понятиям и не определяются. Об этих простейших фигурах человек может иметь только интуитивное представление, которое он получает из окружающей его обстановки. Так, например, представление о том, что такое плоскость, дает гладкая поверхность стены, потолка или стола.

Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита Л, В, С и т.д., прямые — строчными латинскими буквами а, Ь, с и т.д. или двумя большими латинскими буквами АВ, АС, ВС и т.д. Плоскости будем обозначать строчными греческими буквами а, р, у и т.д. На рисунках плоскости будем, как правило, изображать в виде параллелограмма.

В каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, однако не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. Аналогичное можно сказать о взаимном расположении точек и прямых в пространстве. Если точка А лежит в плоскости ос, то будем писать А е а, если точка В не лежит в плоскости у, то будем использовать обозначение В у. Аналогичные записи будем использовать для описания взаимного расположения точек и прямых, например А е /, В и т.д.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, описываются с помощью аксиом стереометрии. Эта система аксиом состоит из утверждений, большая часть которых должна быть известна из курса планиметрии каждому учащемуся колледжа. Поэтому сформулируем далее только три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Отметим, что плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, можно записывать с помощью этих трех букв следующим образом: АВС.

Кроме того, если рассмотреть не три, а четыре точки, то эти четыре точки уже могут не лежать в одной плоскости.

А2. Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую (например, для прямой а и плоскости а этот факт записывается следующим образом: а с а).

АЗ. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой (например, для плоскостей а и (3, пересекающихся по прямой а (рис. 10.1), этот факт записывается следующим образом: а п (3 = а).

Рис. 10.1

Отметим, что в пространстве существует бесконечное множество плоскостей и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Более того, все свойства и признаки, известные из курса планиметрии, справедливы для фигур, расположенных в разных плоскостях.

Из приведенных аксиом вытекают два важнейших следствия.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Обсудим теперь взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны три случая (по количеству их общих точек).

  • 1. Прямая и плоскость не имеют общих точек. В этом случае говорят, что прямая параллельна плоскости. Для прямой а и плоскости а это обозначается так: а || а (рис. 10.2, а).
  • 2. Прямая и плоскость имеют одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость в этой точке. Для прямой а, пересекающей плоскость а в точке М, это обозначается так: а па = М (рис. 10.2, б).
  • 3. Прямая и плоскость имеют более одной общей точки. Этот случай описан в аксиоме А2, он соответствует ситуации, когда прямая лежит в плоскости. На рис. 10.2, в показан случай, когда прямая а проходит через две различные точки М и Р, лежащие в плоскости а.

Рис. 10.2

Перечислим теперь четыре возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Две прямые в пространстве могут быть:

  • а) совпадающими;
  • б) пересекающимися;
  • в) параллельными;
  • г) скрещивающимися.

Остановимся более подробно на двух последних случаях взаимного расположения прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Параллельность прямых а и b обозначается так: а || Ь.

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Для прямых а и Ь, являющихся скрещивающимися, этот факт обозначается так: а - Ь.

Замечание. Отметим, что в случаях, когда две прямые совпадают, пересекаются или параллельны, через эти прямые можно провести плоскость. Причем если они пересекаются или параллельны, то такая плоскость будет единственная. В случае же, когда две прямые являются скрещивающимися, подобной плоскости, проходящей через обе эти прямые, не существует.

Обсудим далее важный вопрос. Он связан с указанием элементов, при задании которых можно однозначно провести плоскость. Итак, плоскость, и притом только одну, можно построить, если заданы следующие элементы.

  • 1. Три точки, не лежащие на одной прямой. На рис. 10.3, а показана плоскость а, проходящая через точки Л, В и С.
  • 2. Прямая и не лежащая на ней точка. На рис. 10.3, б показана плоскость а, проходящая через точку Л и прямую /.
  • 3. Две пересекающиеся прямые. На рис. 10.3, в показана плоскость а, проходящая через пересекающиеся в точке М прямые а и Ь.
  • 4. Две параллельные прямые. На рис. 10.3, г показана плоскость а, проходящая через параллельные прямые а и Ь.

Рис. 10.3

Перечислим теперь три возможных случая взаимного расположения двух плоскостей. Две плоскости могут быть:

  • а) совпадающими;
  • б) пересекающимися;
  • в) параллельными.

Поскольку случай пересекающихся плоскостей был рассмотрен выше (см. аксиому АЗ), то обсудим только третий случай.

Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей аи(3 обозначается так: а || р. На рис. 10.4 показано, как при решении задач можно изображать параллельные плоскости аир.

Рис. 10.4

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >