Примеры законов распределения случайной величины
Рассмотрим некоторые важные для практики законы распределения случайных величин.
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а е R и а > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид
где параметры а - математическое ожидание (а = М[Х] ), а - среднее квадратичное отклонение X (а = +y]D[X]). В данном случае математическое ожидание а совпадает с медианой Ме=хтесt и модой Mo =xm0d.
Если случайная величина распределена по закону N(x;0;), то она называется стандартизированной нормальной величиной. Функция распреде-
V t2
2 х *
ления для неё имеет вид FAr(x;0;l)= ,— Г е 2dt. Графики плотности Дх)
и функции F(x) распределения стандартизированной нормальной величины изображены на рис. 1Л, а с параметрами а = 10 и <т= 5 - на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Графики f(x) и F(x) по закону N(x;10;5). Площадь затемненной области равна 0,5 =р = FN(10; 10; 5)
На рис. 1.5 изображены графики плотности Дх) нормального распределения при фиксированном а = 2 и разных а. С уменьшением а кривая Дх) сжимается, концентрируясь вокруг прямой х = 2.
Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению
откуда, в частности, следует, что все центральные моменты нечетного
порядка равны нулю, так как jUj = 0 и, таким образом, А = —у = 0. С уче-
<7
том р4 = За2р2 = За4 имеем Е = 3 =0. В этом смысле кривая плот-
а ности нормального распределения является эталонной (А = О, Е = 0), с которой сравнивают fix) других распределений при одинаковых М(Х) и D(X). Причем, на фоне кривой плотности нормального распределения график плотности распределения fix) деформирован (асимметричен) влево, если А > 0, и вправо, если А < 0; остроконечен (вытянут вверх), если Е > 0, и тупоконечен, если Е < 0 (см. рис. 1.2, 1.3).
Рис. 1.5. Графики плотности нормального распределения в зависимости от стандартного отклонения а
Значения функции p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (рис. 1.6).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. Ему подчиняется случайная величина, представленная в виде суммы слабо зависимых случайных величин, сравнимых по порядку их влияния на рассеивание суммы.
Непрерывная случайная величина X имеет логнормальное распределение LN(x;i;
Рис. 1.6. Калькулятор нормального распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,75 —р = F(0,67449)
Рис. 1.7. Графики f(x) и F(x) логнормального распределения. Площадь затемненной области равна 0,5 =р = FLN(1; 0; 1)
Числовые характеристики логнормального распределения:
Значения функции логнормального распределения p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.8).
Рис. 1.8. Калькулятор логнормального распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,5 =р =FLN(1; 0; 1).
Из определения логнормального распределения следует, что если случайная величина Y распределена нормально, то Х=/ распределена логнормально. Таким образом, логнормальному распределению подчиняется распределение случайной величины, представленной в виде произведения слабо зависимых случайных величин, сравнимых по порядку их влияния.
Непрерывная случайная величина X имеет х2 (хи-квадрат) распределение с т степенями свободы, если она представима в виде суммы квадратов т величин, распределённых по нормальному закону N(x, 0, 1), то есть если плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.9)
00 s
где Г(г) = je ltz ldt _ гамма функция: г( ^” + Ч = -^-(2л-1)!!>/^ о V 2 ) 2
и Г(я + 1) = и! для п = О,оо.
Числовые характеристики хи - квадрат распределение:
Рис. 1.9. Графики f(x) и F(x) хи-квадрат распределения. Площадь затемненной области равна 0,5 =р =FCh(2,365974).
График плотности хи-квадрат распределения асимметричен (скошен влево, так как А > 0), островершинен (Е > 0) и xmoci < т.
Зависимость графиков плотности хи-квадрат распределения от т представлена на рис. 1.10.
Значения функции хи-квадрат распределения p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.11).
Непрерывная случайная величина X имеет t-распределение Стью- дента с т степенями свободы, если плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.12)
Рис. 1.10. Зависимость графиков f(x) хи-квадрат распределения от т
Рис. 1.11. Калькулятор хи-квадрат распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,5 =р =FCh(2,365974)
Числовые характеристики ^-распределения:
Рис. 1.12. Графики f(x) и F(x) закона t-распределения
При больших степенях свободы (т > 30) ^-распределение практически совпадает с нормальным распределением jV(x;0;1) .
Значения функции ^-распределения p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.13).
Рис. 1.13. Калькулятор t-распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,5 =p=Ft (0; 3)
Непрерывная случайная величина X имеет F-распределение Фишера, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.14)
Рис. 1.14. Графики f(x) и F(x) закона распределения Фишера. Площадь затемненной области равна 0,5 =p=FF(l, 10, 10)
Числовые характеристики F-распределения:
Значения функции распределения Фишера p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.15).
Рис. 1.15. Калькулятор F-распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,5 =р =Ff(1)
Зависимость графиков плотности fF(x;v; со) F-распределения Фишера от параметров v и со представлена на рис. 1.16.
Рис. 1.16. Графики fF{xvco) плотности F-распределения Фишера в зависимости от v и со
Если v = m и со = п - целые, то непрерывную случайную величину, имеющую F-распределение Фишера, можно представить в виде отношения двух случайных величин, распределённых по закону хи-квадрат со степенями свободы тип. При этом отношение случайных величин, делённых на соответствующую степень свободы, называется F-отно- шением, а соответствующее распределение - распределением F-omno- шения. Данное распределение играет фундаментальную роль в математической статистике и интерпретируется в первую очередь как распределение отношения двух выборочных дисперсий - распределение дисперсионного отношения. На данной статистике основан F-критерий, используемый, в частности, для проверки гипотезы равенства дисперсий двух совокупностей в дисперсионном анализе, регрессионном анализе, многомерном статистическом анализе.
Универсальность F-распределения Фишера подчеркивается связями с другими распределениями. При т = 1 квадрат F-отношения имеет распределение Стьюдента с п степенями свободы. Существуют различные аппроксимации F-распределения Фишера с помощью нормального распределения и хи-квадрат распределения.
Введение в дисперсионный анализ F-распределения связано с именем Р. Фишера, хотя сам он использовал для дисперсионного отношения величину z = ^ F. Распределение z было табулировано Р. Фишером, F-распределение - Дж. Снедекором.
