Сложение гармонических колебаний одинакового направления равных частот

Сложение нескольких колебаний одинакового направления значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмём ось, которую обозначим буквой х (рис. 1.9). Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий с осью угол а . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ш0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от до , причём координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Рис. 1.9

Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х, и х2, которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания с помощью векторов а{ и а2 (рис. 1.10). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

Рис. 1.10

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью со0, как и векторы ах и а2, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой со0, амплитудой а и начальной фазой а . Из построения видно, что

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов даёт возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот приём бывает особенно полезен, например, в оптике или электротехнике.

Проанализируем выражение (1.46) для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний а2 - а, равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна а = ах + а2. Если разность фаз а2 -а, равна или , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна |ах2|.

Если частоты колебаний х1 и х2 неодинаковы, векторы я, и а2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор я пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >