Оптимизация шага квантования по времени при статистической обработке результатов измерения

Эффективность использования весовой обработки при переходе к цифровому измерению среднего значения мгновенной частоты снижается по сравнению с обобщённым выражением (3.7), использующим трапециевидную весовую функцию (3.11). При цифровом измерении с весовой обработкой результатов промежуточных отсчётов искомое значение среднего значения мгновенной частоты определяется в дискретные моменты времени, пропорциональные периоду сигнала, а оценка усредняемого значения мгновенной частоты при циклических измерениях на интервале наблюдения производится с интервалом дискретности пропорциональным времени усреднения, т. е. на выходе измерителя получается функция т (со(ЛТ)), где К = 0,1,2... - число циклов усреднения.

Выражение (2.16) для среднего значения частоты при цифровом усреднении классическим измерителем преобразуется к виду

а интегральная форма (2.18) может быть представлена суммой

где At - шаг квантования по времени, п - коэффициент усреднения.

В практике высокоточных измерений обычно выполняется условие п» 1, поэтому в (4.41) при этом условии можно перейти к непрерывному времени t, то есть сумма переходит в интегральную форму (2.18). По аналогии оператор текущего сглаживания - уравнение (3.7) с произвольной весовой функцией g{t) - можно представить в виде

где усредненное значение оценки мгновенной частоты на интервале времени измерения образуется суммой промежуточных отсчётов частоты, взятых с соответствующим весом.

Предполагая использование фазового метода измерения и поместив начало отсчёта в середину усредняемой реализации, получим усреднённое значение мгновенной частоты по дискретной выборке:

где АФ - набег полной фазы гармонического сигнала на интервале At в i-м промежуточном измерении.

Описанную процедуру нахождения среднего значения мгновенной частоты (4.43) можно проследить с помощью рис. 4.21, на котором показано изменение полной фазы гармонического сигнала во времени и границы интервалов промежуточных измерений. Согласно рис. 4.21 и выражению (4.43) усреднённое значение случайной частоты определяется через суммирование набегов фазы промежуточных измерений АФ/.

В связи с квантованием по времени возникает задача выбора шага квантования, обеспечивающего минимальное увеличение дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты гармонического сигнала. Решение этой задачи проведём для линейно-ступенчатой функции, изображенной на рис. 4.21, являющейся дискретным аналогом «треугольной» весовой функции (3.12), рассмотренной в третьей главе и обладающей высокой эффективностью сглаживания флуктуационных помех [43, 45, 71].

Оптимизировать шаг квантования можно при рассмотрении частотных характеристик этих весовых функций с учётом спектральных свойств воздействующих помех или же временным методом, исследовав погрешности оценки (4.43). Последний метод в данном случае представляется наиболее доступным, поэтому, используя условие несмещённости оценки (3.8) и весовую функцию (рис. 4.21), для выражения (4.43) получим

Используя данные рис. 4.11, где 7) = At, и методику определения погрешности квантования по уровню из § 4.2, определим дисперсию оценки (4.44) по общим правилам для суммы зависимых случайных величин:

где о² - дисперсия фазовых флуктуаций усредняемой реализации; R(i At) - значение нормированной корреляционной функции фазовых флуктуаций,

т

разделенных временем (t = i At). Если учесть, что = —(т + 1), то (4.45)

/=1 2

преобразуется к удобному для анализа виду

При п » 1 формула (4.46) упрощается и принимает вид

а так как количество промежуточных измерений п = Т /At, то из (4.46) получим

Рис. 4.21. Временные диаграммы весовой обработки полной фазы Ф(7)

В пределе, устремив п —> оо, что соответствует At —> 0, из (4.47) и (4.48) нетрудно перейти к интегральной форме дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты во временной области:

Эта оценка должна совпадать с (3.19) и (3.26), полученными для конкретных видов корреляционных функций спектральным методом. Убедимся в этом на примере одной модели фазовых флуктуаций с экспоненциальной корреляционной функцией (3.24), которая после нормировки будет равна

Подставляя (4.50) в (4.49), получим

Вычисление оценки (4.51) сводится к вычислению табличных интегралов:

а другие значения интегралов в (4.51) будут равны

С учётом (4.52) и (4.53) дисперсия оценки частоты (4.51) будет равна

или, заменив т^_ф = 1 /Ц., получим

а, переходя к эффективной полосе спектра фазовых флуктуаций Ос = л/2 О_с, найдём:

что совпадает с (3.28), полученным спектральным методом.

При больших значениях времени усреднения, соответствующих Т» т*_ф, выражение для дисперсии (4.51) преобразуется к виду

а принимая во внимание, что

получим ещё одну формулу для вычисления дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты

которая по сравнению с оценкой классического измерителя, равной <з²кс =2 а²у/т², даёт выигрыш, в точности равный

совпадающий с (3.34), то есть о² = а²А.

Аналогично могут быть получены из (4.49) выражения для дисперсий оценок среднего значения мгновенной частоты других моделей фазовых флуктуаций исследуемого сигнала. Например, при равномерном энергетическом спектре и нормированной корреляционной функции вида

оценка, выполненная по формуле (4.49), приводит к интегральным синусам и совпадает с выражением (3.19), полученным при аналоговой «треугольной» весовой обработке спектральным методом.

Рассмотренные предельные значения дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты, полученные из (4.48), показывают, что оценки по дискретной выборке из реализации фиксированной длительности могут быть использованы для определения оптимального количества выборок на интервале усреднения и шага квантования по времени. Оптимальный шаг квантования по времени определим, составив и исследовав отношение дисперсий (4.47) и (4.46) или (4.54), равное

-/ ^At

где R{iAt) = R_x(iAt) = e ^Xk - дискретный аналог корреляционной функции (4.50) или R₂(iAt) = sin2ni-^- /2ni-^~ - для модели (4.55).

^kq> /

Отношение (4.56) характеризует изменение дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты цифрового измерителя с использованием весовой функции, представленной на рис. 4.21, по сравнению с аналоговой «треугольной» весовой обработкой (3.12).

Другим отношением, представляющим интерес для исследований, является отношение дисперсии оценки цифрового измерителя с весовой обработкой и дисперсии оценки мгновенной частоты классического измерителя, равное

Результаты расчётов по (4.56) и (4.57) представлены на рис. 4.22 и 4.23. На рис. 4.22 приведено изменение Q_g для сигнала с экспоненциальной функцией корреляции фазовых флуктуаций. Графики построены при различных соотношениях шага квантования и времени корреляции фазовых флуктуаций Д*/т*ф.

Из рисунка следует, что увеличение шага квантования относительно времени корреляции т*_ф приводит к уменьшению точности цифрового измерения, которое при At» становится существенным. Так, например, при At /т*_ф =10 дисперсия погрешности цифрового измерения возрастает в 5 раз.

Если шаг квантования соизмерим со временем корреляции фазовых флуктуаций, то эффективность цифровой обработки приближается к аналоговой при увеличении количества отсчётов п = Т/At. Например, уже при п = 10² 10³ в области значений 0,1 т*_ф < At <2 т*_ф наблюдается небольшое

отличие аналоговой и цифровой весовых обработок.

Рис. 4.22. Оптимизация шага квантования по времени

Рис. 4.23. Зависимость коэффициента эффективности от шага квантования по времени

На рис. 4.23 приведены результаты расчётов по выражению (4.57) для двух моделей фазовых флуктуаций. Из рисунка следует, что классические измерители с увеличением количества отсчётов значительно уступают по точности измерителям с весовой обработкой. В области значений ОДт^ф < At < 2 т*_ф коэффициент эффективности Q_g2 изменяется линейно, а при At > 2 т*ф для каждого п достигается предельный выигрыш, равный ~и/8. Из рис. 4.22 видно, что для At > т^ф и при малом количестве выборок аналоговая обработка уступает цифровой, а на рис. 4.23 график Q_g2 для п= 10 подтверждает, что для временных интервалов, соизмеримых с временем корреляции (At ~ т*_ф), весовая обработка теряет свои преимущества. Эти результаты ещё раз подтверждают известный факт [10, 66, 57], что увеличение числа выборок из реализации фиксированной длительности не всегда приводит к повышению точности измерения. Применительно к измерению среднего значения мгновенной частоты по переходам через нулевой уровень это говорит о низкой эффективности весовой обработки при измерении низких частот, повысить которую можно, увеличивая время измерения. При малом количестве выборок целесообразным остается применение классического варианта построения измерителя, использующего всего два отсчёта - в начале и конце измерительного интервала [8].

Как следует из рис. 4.23, вид исследуемой модели фазовых флуктуаций оказывает влияние только в области временных интервалов At < т*_ф, а с увеличением количества усредняемых интервалов наблюдается тенденция к сокращению этой области. Суммы в формуле (4.57) не оказывают влияния на исследуемое отношение и графики стремятся к предельному значению ~8 /п.

Исходя из полученных результатов, можно обосновать требования к выбору шага квантования, учитывая особенности построения цифровой измерительной аппаратуры, использующей переходы через нулевой уровень. Эффективность применения цифрового построения аппаратуры с весовой обработкой увеличивается с возрастанием количества выборок за фиксированный измерительный интервал, что создает преимущества высокоточных измерений высокочастотных колебаний.

Шаг квантования по времени необходимо выбирать с учётом корреляционных характеристик присутствующих помех, а предельные значения эффективности весовой обработки достигаются при шаге квантования, равном At > (1 -ь 2)т*ф. В связи с этим, если период исследуемого сигнала соизмерим или меньше времени корреляции фазовых флуктуаций (Т < т*_ф), то эффективность весовой обработки будет увеличена при квантовании и обработке не отдельных периодов исследуемого сигнала, а их групп, сформированных в промежуточные вспомогательные измерительные интервалы с длительностью, определяемой временем корреляции 7} > (1 + 2)т*_ф.