Определение размеров движения пригородных поездов при случайных колебаниях пассажиропотоков

Суточные корреспонденции пассажиропотока в пригородном сообщении имеют большие колебания. В связи с этим детерминированный подход к решению задачи определения зонных размеров движения пригородных поездов может привести к существенному искажению картины распределения пригородных пассажиропотоков, сокращению потребных размеров движения, снижению комфортабельности перевозок, а в конечном счете — к переходу части пассажиров на альтернативные виды транспорта.

Наиболее адекватные случайным колебаниям пассажиропотока потребные размеры движения пригородных поездов могут быть определены на основе стохастической линейной модели с вероятностными построчными ограничениями по освоению случайных суточных густот пассажиропотока каждой технической зоны и детерминированных вместимостях и оценках поездов.

Математическая модель задачи определения зонных размеров движения пригородных поездов в этом случае может быть сформулирована в следующем виде:

минимизировать математическое ожидание затрат суммарных поездо-км пробега пригородных поездов

при вероятностных построчных ограничениях по освоению густот пассажиропотока характерных периодов суток:

Ограничений по станционарности движения

и неотрицательности переменных

где x_q, x_n+(J — число поездов q-й технической зоны, прибывающих на головную станцию пригородного участка соответственно в утренний период «пик» и в неинтенсивный периоды прибытия поездов;

^x2n+q’ ^х2n+q ~ ^число поездов, отправляющихся с головной станции на д-ю станцию оборота соответственно в вечерний период «пик» и неинтенсивный периоды отправления поездов;

а — число мест для сидения в поезде;

а <1 — коэффициент использования вместимости поездов в неинтен- исп

сивный период;

Г/p Г_/3, Г_/4 — соответственно густота пассажиропотока /-й зоны в пиковый период и в период спада пассажиропотока в направлениях прибытия и отправления поездов;

оi — заданный уровень вероятности выполнения построчных ограничений у= 1, 2, 3, 4;

lj — расстояние от головной станции до /-й зонной станции.

В этом случае задача (7.21)—(7.24), в которой решение определяется в решающих правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной задаче линейного программирования. Действительно, данная задача является одноэтапной задачей стохастического программирования с априорными решающими правилами. Решение этой задачи принимается на основе известных стохастических характеристик распределения случайных значений суточных густот пассажиропотока до наблюдения реализации текущих значений параметров условий задачи.

Это означает, что решением здесь является детерминированный вектор размеров движения X = {х.; х^₊.; х_2п+.; дс_3я+/} — решающее правило нулевого порядка, зависящее от детерминированных исходных данных — матрицы ограничений по освоению густот пассажиропотока, и статистических характеристик случайных параметров условий задачи — густот пассажиропотока.

Пусть ф(Г„, ...,Г_я1; Г.₂, ...,Г_д2; Г_д, ...,Г_п3; Г ₄.....Г_д4) - совме-

стная плотность распределения составляющих Г- — случайного вектора густот пассажиропотока.

Тогда плотность распределения компоненты Г_/7 составит:

*

Определим Г„ из уравнения

На рис. 7.1 представлена графически иллюстрация решения уравнения (7.26).

Рис. 7.1. Определение величины Г..

и

Если решение уравнения (7.26) не единственное, выберем в качестве Г наименьший корень.

Очевидно, что построчные ограничения (7.22) задачи стохастического программирования эквивалентны неравенствам

Отсюда следует эквивалентность задачи стохастического программирования (7.21)—(7.24) и детерминированной задачи.

Проанализируем полученное решение детерминированной задачи (7.28)—(7.31). При заданном уровне вероятности опострочные ограничения (7.22) стохастической задачи выполняются с вероятностями, большими или равными ос (при непрерывных монотонных плотностях распределения ср„ с вероятностями ос„) и не

выполняются с вероятностью 1 — ос„.

Для полученного решения X* средняя величина невыполнения ограничения по освоению густот пассажиропотока на каждой технической зоне составит

Обозначим среднюю величину превышения нормы вместимости поездов (числа мест для сидения пассажиров) через

Тогда

где Ф(Г) — плотность распределения густоты пассажиропотока. Окончательно

Средняя величина невыполнения ограничений по освоению густот пассажиропотока показывает либо насколько снижается уровень комфортабельности перевозок, либо какое число пассажиров будет вынуждено перейти на альтернативные виды транспорта.

При показательном законе распределения густот пассажиропотока плотность распределения имеет вид:

при этом , 1

т.е. Л =—. т

В этом случае

Тогда среднее число неперевезенных пассажиров составит Вычислим первое слагаемое:

Сделаем замену переменной.

Пусть XT = t.

Окончательно

Среднее число неперевезенных пассажиров при этом составит В частном случае при а = 0,5 .

Тогда е =0,5 и среднее число неперевезенных пассажиров

будет равно М Г-Г /Г> Г = —= -^.

L -I 2Л 2

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся типичных условиях.

Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиненных каким-угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону. Чем больше будет суммироваться случайных величин, тем точнее распределения их суммы.

Таким образом, каким бы законам распределения не подчинялись случайные корреспонденции пассажиропотока, их сумма — густота пассажиропотока — оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Основное ограничение, налагаемое на суммируемые корреспонденции пассажиропотока, состоит в том, чтобы все они равномерно играли относительно малую роль в общей сумме. Если это условие не выполняется, например одна из корреспонденции пассажиропотока окажется по своему влиянию на густоту резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой корреспонденции наложит свое влияние на густоту пассажиропотока и в конечном счете определит закон ее распределения.

При нормальном законе распределения густот пассажиропотока плотность распределения имеет вид

В этом случае вероятность того, что густота пассажиропотока будет больше, чем Г*, примет вид

Пусть ™ =t, тогда Г = w + /aV2, dT = aj2dt, aV2

+°° +СО ^

но интеграл Эйлера—Пуассона J е^ч dt = 2 J е^ч dt = jn, поэтому

—ОО О

Г*-от

1 | J1

пусть f = -=, тогда У = 1—Г е ² dl,

V2 Jn L

1 * --

но Ф (*) = -=? | е ² dl — нормальная функция распределения, v 2я ^J

—ОО

тогда

Среднее число неперевезенных пассажиров в соответствии с (7.35) и (7.42) составит

+оо (Г-Я»)

Обозначим R = —=? f Ге ²°² г/Г. aV2д

тт Г — /77 ^Пусть

тогда

i 1 o_2

поэтому l =—e ^ZCT .

Тогда из (7.42) и (7.44) имеем

откуда среднее число неперевезенных пассажиров в соответствии с формулами (7.42)—(7.44) примет вид

Окончательно

В частном случае при ol. = Г * определяется из уравнения

В силу симметричности функции плотности распределения относительно математического ожидания имеем Т*=т.

Тогда среднее число неперевезенных пассажиров составит

Определим величину Г* при нормальном распределении густот пассажиропотока.

Величина Г* определяется из уравнения но, в свою очередь,

Используя формулу (7.42), получаем

Тогда уравнение для определения густоты Г* примет вид

Таким образом, детерминированный подход к определению размеров движения пригородных поездов приводит к полному освоению густот пассажиропотока только в 50 % случаев. При этом математическое ожидание величины превышения нормы вместимости поездов находится в прямой зависимости от степени рассеяния значений случайных густот пассажиропотока относительно их математического ожидания.