ФИЗИЧЕСКОЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ

Потенциальная яма

Что же такое потенциальная яма и почему любой физический объект в конце концов в ней оказывается?

На неровную поверхность с выпуклостями и вмятинами (лунки) брощен металлический шарик. Покатавшись он в конце концов останавливается на дне одной из лунок. На шарик, находящийся на стенке лунки (или выпуклости), действуют две

силы: сила тяжести Ft и сила реакции стенки (рис. 4.1).

Силы тяжести и реакций шарика

Рис. 4.1. Силы тяжести и реакций шарика

Равнодействующая сила F направлена вниз по склону, поэтому шарик, в соответствии со вторым законом Ньютона, приобретает ускорение и скатывается на дно лунки. На дне две

силы (F Т и F'p) уравновешиваются, равнодействующая соответствует нулю и шарик остается в положении равновесия.

С энергетической точки зрения при скорости шарика на дне лунки равной нулю, становится равной нулю и его кинетическая энергия. Поэтому он обладает лишь потенциальной энергией. Если сдвигать шарик из положения равновесия, то на любое перемещение шарика вверх по склону должна затрачиваться работа по преодолению силы тяжести. Тогда возрастёт его потенциальная энергия. Но если эта энергия (.Еп) возрастает при любом перемещении (г) относительно положения равновесия, то в самой равновесной точке (г = о) она минимальна (рис. 4.2).

Изменение потенциальной энергии шарика

Рис. 4.2. Изменение потенциальной энергии шарика

При падении шарика в первый момент, когда он обладал определенной кинетической и потенциальной энергией, происходило взаимное превращение кинетической и потенциальной энергий, но при этом часть энергии терялась на работу против трения. В конце концов общий запас механической энерии стал настолько малым, что шарику его не хватило, чтобы выбраться из очередной лунки, и он остановился на ее дне. В этом положении вся оставшаяся у шарика энергия - потенциальная, соответствующая значению в этой лунке.

Зависимость энергии от положения шарика

Рис. 4.3. Зависимость энергии от положения шарика

На рис. 3 показаны два возможных положения равновесия шарика в двух соседних лунках разной глубины. Каждому из равновесных положений отвечает свой минимум энергии, причем Еп min 1 < Еп mini 2 (для перемещения шарика из положения 1 в положение 2 нужно затратить положительную работу).

Итак, «устойчивому равновесному положению тела всегда отвечает минимальное значение его потенциальной энергии».

Теперь рассмотрим объект, для которого реальной яму представить затруднительно, а тем не менее она существует и определяет его равновесное состояние. Очевидно, что мыльный пузырь всегда имеет сферическую форму. С физической точки зрения - это жидкая пленка, ограничивающая полость, заполненную газом. Её составляют два поверхностных слоя (внешний и внутренний) и жидкость, заключенная между ними. Молекулы на поверхности находятся в особых условиях по сравнению с объемными молекулами. Каждая молекула внутри жидкости пребывает в окружении себе подобных, и результирующая всех сил притяжения равна нулю.

На поверхностную молекулу с одной стороны действуют молекулы газа, имеющего значительно меньшую плотность. Поэтому равнодействующая сил притяжения на поверхности всегда направлена во внутрь, в объем. А молекулы, чтобы выйти на поверхность, должны совершить работу против этих сил притяжения. Это означает, что молекулы на поверхности жидкости обладают большей энергией, чем внутри. Эту дополнительную потенциальную энергию называют поверхностной энергией. Чем больше площадь поверхности S, тем больше поверхностная энергия Е„ов: Епое ~ S, или Enoe = aS. Коэффициент пропорцинальности ст и есть поверхностное натяжение. Этот коэффициент измеряется отношением работы А, необходимой для увеличения площади поверхности на AS, к величине AS. Для каждой жидкости он свой.

При надуве пузыря, размер полости (поверхности пленки) увеличивается, однако количество жидкости в пленке остается постоянным. Поэтому увеличение поверхности возможно лишь за счет выхода новых молекул из объема в поверхностный слой, то есть за счет совершения работы и увеличения поверхностной энергии жидкости.

Теперь понятно, почему мыльный пузырь имеет форму сферы, а не яйца, элипсоида или многогранника. Дело в том, что у сферы замечательное свойство: из всех геометрических фигур, ограничивающих данный объем, она имеет наименьшую поверхность. Поэтому, если придать пузырю не- сфсрическую форму, то увеличится площадь поверхностного слоя, то есть совершится дополнительная работа по выводу молекул на поверхность дополнительно увеличится поверхностная энергия жидкости. То есть сферической форме пузыря отвечает минимум потенциальной энергии пленки, образующей его оболочку. А что же находится в потенциальной яме? Ясно, что это не отдельная частица, поскольку сама природа поверхностного натяжения связана нс с отдельными молекулами, а с их взаимодействием. Нельзя даже предположить, что в потенциальной яме находятся молекулы поверхностного слоя, так как при изменении радиуса пузыря происходит переход молекул из объема на поверхность или наоборот (да и при постоянных размерах пузыря, благодаря тепловому движению, имеет место непрерывный обмен молекулами между объемом и поверхностью).

Таким образом, в потенциальной яме находится вся жидкость, образующая сферу (мыльную пленку). Понятие же потенциальной ямы осталось только потому, что существует универсальная характеристика - площадь поверхности пузыря, связанная постоянным коэффициентом с его поверхностной энергией.

В действительности в потенциальной яме находится сложная система «поверхностные молекулы жидкости + объемные молекулы жидкости + молекулы газа внутри полости».

Кщё примером системы, находящейся в потенциальной яме является ионный кристалл поваренной соли NaCl. Как известно, атомы (или ионы) кристаллических тел образуют правильные геометрические решетки. Кристалл поваренной соли имеет простую кубическую решетку, в узлах которой в трехмерном шахматном порядке располагаются положительные ионы натрия Na+ и отрицательные ионы хлора С Г (рис. 4.4).

Pit с. 4.4. Кристаллическая решетка поваренной соли

Каждый ион Na+ имеет своими ближайшими соседями шесть ионов С Г, а каждый ион СГ шесть ионов Na+. Расстояние между двумя ближайшими одинаковыми ионами на грани куба называют постоянной решетки а.

Чтобы определить вид потенциальной ямы кристалла, надо найти его полную потенциальную энергию, то есть энергию взаимодействия всех ионов кристалла друг с другом. Выделим сначала пару ближайших соседей Na+ и С Г и рассмотрим взаимодействие между ними. Оно складывается из кулоновского притяжения зарядов противоположных знаков и отталкивания (имеющего иную природу), не позволяющего друг к другу слишком близко. Ион натрия находится в поле иона хлора, которое складывается из электростатического поля притяжения и поля отталкивания. В соответствии с законами электростатики, потенциал поля притяжения равен - е/r (в абсолютной системе единиц). Здесь е - заряд одновалентного иона, равный заряду электрона, а г- расстояние между ионами хлора и натрия. Точное выражение потенциала отталкивания, как правило, не известно, но для приближенных расчетов его можно представить в виде быстро убывающей степенной функции Ъ /гп, где Ъ - некоторая постоянная. Показатель степени п для кристаллов типа NaCl принято считать равным 9.

Положительный ион Na+, находящегосяся в поле отрицательного иона С Г, потенциал которого равен U - (г) = е/r + Ь/r п.

Поскольку п велико, на малых расстояниях г потенциал отталкивания резко возрастает и становится существенно больше потенциала притяжения. На больших же расстояниях он практически равен нулю, и полный потенциал определяется потенциалом кулоновского притяжения. В результате U~(r) имеет вид кривой с минимумом и образует потенциальную яму для иона Na+ (рис. 4.5).

Образование потенциальных ям около ионов в кристалле

Рис. 4.5. Образование потенциальных ям около ионов в кристалле

В свою очередь ион натрия создает свое поле, потенциал которого представляет яму для иона СГ. Таким образом, два соседних иона, взаимно притягиваясь на больших расстояниях и отталкиваясь на малых, создают потенциальные ямы, где и удерживают друг друга в положении равновесия.

В реальном кристалле ситуация, конечно, более сложная. Кроме ближайших соседей с зарядами противоположного знака у любого иона имеются следующие, одноименно заряженные, соседние ионы, за ними - еще и так далее.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >