Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой. Если плоскости аир параллельны (рисунок 129), то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.

Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например, следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе плоскости параллельны между собой (рису- нок 130, где h'0a || h'^,/0" ||/^).

Рисунок 129

Рисунок 130

В случае задания плоскостей их следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются. Так, например, на рисунке 131 /0" ||/ор, но р' и а' пересекаются: плоскости аир пересекаются между собой.

Рисунок 131

Если же плоскости заданы не следами, а каким-либо другим способом, и надо узнать, пересекаются ли эти плоскости, то вообще следует прибегать к некоторым вспомогательным построениям. Примеры этих построений будут даны при дальнейшем изложении.

Рассмотрим случаи взаимного положения прямой линии и плоскости. Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть следующим:

  • — прямая лежит в плоскости;
  • — прямая пересекает плоскость;
  • — прямая параллельна плоскости.

Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения прямой и плоскости, то прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой вспомогательной прямой. Для этого (рисунок 132) проводят через данную прямую АВ некоторую вспомогательную плоскость а и рассматривают взаимное положение прямой MN пересечения плоскостей р и а и прямой А В.

При этом возможны три случая:

  • — прямая MN сливается с прямой А В; это соответствует тому, что прямая АВ принадлежит плоскости Р;
  • — прямая MN пересекает прямую АВ; это соответствует тому, что прямая АВ пересекает плоскость Р;
  • — прямая MN параллельна прямой АВ; это соответствует тому, что прямая АВ параллельна плоскости р.

Итак, указанный прием определения взаимного положения прямой и плоскости заключается в следующем:

  • — через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения этой плоскости и данной плоскости;
  • — устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения плоскостей; найденное положение определяет взаимное положение данных прямой и плоскости.

Для решения вопроса о взаимном положении прямой и плоскости мы применили способ вспомогательных плоскостей, которым часто пользуются при построениях, связанных с взаимным расположением различных поверхностей и линий с поверхностями.

Решая ту или иную задачу с применением вспомогательных плоскостей, необходимо выбирать эти плоскости так, чтобы все возникшие при этом построения, были возможно проще и чтобы этих построений было как можно меньше.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >