Определение закона распределения случайной величины

Обычно закон распределения случайной величины неизвестен и имеется ограниченное число наблюдений (выборка). При его определении задаются некоторым известным законом распределения, а затем проверяют эту гипотезу на значимость.

Простейшим методом проверки гипотезы о законе распределения является визуальный. Он заключается в построении гистограммы по выборке и анализе ее внешнего вида. Метод неточен. Наиболее полная и точная проверка соответствия выбранного распределения реальному производится с помощью критерия Карла Пирсона.

Статистика Карла Пирсона имеет вид

где п — количество полученных в результате наблюдения значений случайной величины X (объем выборки);

к — число интервалов;

Pj — теоретическая вероятность попадания случайной величины в у-й интервал;

nPj — ожидаемое (теоретическое) количество попаданий случайной величины в у- й интервал;

nij — количество попаданий случайной величины в у'-й интервал в результате опыта.

Теоретическая вероятность попадания случайной величины в j-й интервал Axj для исследуемой плотности распределения /(х) рассчитывается по формуле

Разделив числитель и знаменатель статистики Карла Пирсона

(17.34) на п и учитывая соотношение (17.1), получим

л

Рассчитать значение Храсч можно как по формуле (17.34), так и по формуле (17.35).

'У

Выборочное распределение Храсч является (приблизительно) Х²-распределением с числом степеней свободы

где к — число интервалов;

Ь — число параметров вероятностной модели, которые должны быть оценены по тем же данным.

Отклонения от проверяемой модели всегда будет приводить к увеличению значения Храсч •

Значимость выбранного закона распределения определяется сравнением рассчитанного и табличного (теоретического) значений Xv ^с v степенями свободы. Уровень значимости а показывает вероятность того, что теоретическое значение Xv превысит расчетное значение Хр_асч • В виде формулы это можно записать следующим образом:

Геометрический смысл теоретического значения Xv поясняется на рис. 17.12.

Рис. 17.12. Плотность ^-распределения с v степенями свободы

По оси абсцисс отложены значения Xv • Индекс v означает, что на рисунке приведен график плотности распределения для функции с v степенями свободы. Отмеченная на этой оси точка Xv (^a) ⁰³" начает, что площадь под кривой плотности распределения на интервале ^Xviy)’⁰⁰) равна уровню значимости а.

Таким образом, если Храсч -Xv(^a) ^ПР^{И том же} числе степеней свободы и заданном уровне значимости a, то вероятность соответствия закона распределения исследуемой случайной величины выбранному закону распределения будет больше или равно а .

Если ожидаемые частоты слишком малы для использования Х²-распределения, то их надо объединить в один более крупный интервал. Значений частот не должно быть меньше 5—10. При объединении необходимо учитывать, что число интервалов не должно быть слишком малым.

> Пример 17.10. Для условий примеров 17.1 и 17.4 определить значимость соответствия закона распределения исследуемой случайной величины нормальному.

Решение. Используя результаты решения примера 17.4, запишем функцию плотности распределения исследуемой случайной величины в виде

Результаты обработки выборки табл. 17.2 (пример 17.1) представлены в строках 1—3 табл. 17.6. Здесь же представлены результаты остальных расчетов.

Таблица 17.6

Теоретические значения вероятности попадания случайной величины в j-й интервал для плотности распределения (17.38) рассчитываются по формуле

Интеграл вероятности

находим по таблицам. Его значения записаны в третьей и четвертой строках табл. 17.6. Теоретические значения вероятности попадания случайной величины в у-й интервал представлены в пятой строке.

Расчет статистики Карла Пирсона проведем по формуле (17.34), слагаемые которой представлены в седьмой строке

Уровень значимости определяется по формуле а = р(х1 ^Храсч) при количестве степеней свободы v = Ar—1 = 8—2 —1=5 . Уровни значимости в зависимости от заданного значения находим по таблицам (см., например, [6, с. 74]). Имеем

Принимаем зависимость Xs ^{от а на} интервале 0,5 до 0,7 линейной (рис. 17.13).

Рис. 17.13. Определение уровня значимости

Из подобия прямоугольных треугольников находим Отсюда определяем уровень значимости:

Таким образом, гипотеза о том, что случайная величина распределена по нормальному закону, с вероятностью 0,61 принимается.?